Статически неопределимые задачи


«Природа ничего не делает напрасно и во всех своих проявлениях избирает кратчайший или легчайший путь» Аристотель

Давайте решим такую задачу: есть стержень, который закреплён с обоих концов и на который приходит сила N. Площадь поперечного сечения стержня равна F, и он сделан из материала с модулем Юнга E. Допускается, что опоры A и B абсолютно жёсткие, и реакции, которые в них возникают, их не деформируют. Нужно найти реакции в опорах A и B.


Вертикальный стержень должен находится в равновесии под нагрузкой, потому запишем условие равновесия для данной задачи:


В одном уравнении две неизвестных, следовательно, такое уравнение невозможно решить. Это пример статически неопределимой задачи.

Давайте попытаемся её решить. Для её решения нам нужно получить второе уравнение.

Что нам известно наверняка? Согласно первому уравнению, одна из опор воспримет одну часть нагрузки, а другая опора воспримет оставшуюся часть.

Введём для большей наглядности обозначения:


Верхняя часть стержня, длина которой равна a, будет деформироваться под силой X.

Нижняя часть, длина которой равна b, будет деформироваться под силой (N – X).

Если стержень в месте приложения нагрузки не будет разрушаться, то перемещения верхней и нижней части будут равны по абсолютному значению. Это так называемое условие совместности деформаций.

Говоря простыми словами - условие совместности деформаций в случае данного стержня будет выполняться, когда верхняя часть стержня под нагрузкой пойдёт вслед за нижней, ведь они, по сути, единое целое.

Отсюда можно получить недостающее уравнение.

Удлинение верхней части:


Укорочение нижней части:


Следовательно:


Теперь вернёмся к исходным обозначениям и запишем второе уравнение:


По сути, второе уравнение уже даёт интуитивное и численное решение всей задачи: реакция будет больше в той опоре, ближе к которой приложена внешняя сила.

Рассмотренная задача является лишь частным случаем более общего случая. Например, если бы стержень был составным, верхняя его часть была стальная, и была бы в три раза длиннее нижней части из алюминия, и при этом стержень бы имел одинаковое поперечное сечение по всей длине, то реакции в опорах были бы приблизительно одинаковы. Этот факт возвращает нас к понятию жёсткости стержня:


Отсюда проистекает важный и фундаментальный принцип для всей дисциплины прочности: чем жёстче что-либо, тем большую силу оно воспримет. Этот принцип является логическим следствием принципа наименьшей работы Кастильяно (следствие его второй теоремы), который гласит:

Величины избыточных реакций в статически неопределимых системах таковы, что энергия деформации этих систем будет минимальной.

Говоря простым языком, природа хочет сохранять энергию, в том числе и внутреннюю энергию деформации, и любая нагруженная статически неопределимая конструкция подчиняется этому закону природной «лени».

Ещё более простыми словами этот принцип можно озвучить так: в статически неопределимых конструкциях распределение сил между частями каркаса будет происходить так, чтобы деформации этих частей будут наименьшими.

Учёт совместности деформаций - один из вспомогательных приёмов для решения статически неопределимых задач.

Показанный ранее пример со стержнем, закреплённым с двух концов, является типовой статически неопределимой задачей, когда имеется лишнее закрепление. Однако бывают и такие задачи, в которых опорные реакции определяются без особых проблем (т.е. статически определимые задачи), но в которых (при определении напряжений и деформаций) могут возникнуть затруднения, и где также может быть полезен учёт совместности деформаций. Это тоже своего рода статически неопределимые задачи, только немного другие.

Например, имеется стержень, подвешенный одним концом к опоре и нагруженный сосредоточенной силой на другом конце.


Стержень выполнен из материала, являющегося композиционным, т.е. составленным из нескольких материалов. При этом соединение материалов не последовательное, а параллельное, т.е. структура поперечного сечения по всей длине будет одинакова.

Стержень составлен из двух материалов: волокно и, связывающая это волокно, смола. Упругие свойства волокна и смолы кардинально различаются: модуль Юнга, например, углеродной нити равен 230 000 МПа, в то время как модуль Юнга типовой смолы в отверждённом виде равен 3 500 МПа.

Если стержень выполнен качественно, то тогда смола "сцепится" с волокнами, что обеспечит совместность деформаций. При этом сила P, которую передаёт стержень, будет состоять из двух компонентов: Pволокна и Pсмолы. Соотношение между ними будет зависеть от двух величин:

  • Площади каждого из составляющих
  • Модуля Юнга каждого из составляющих

Допустим, что площади волокна и смолы равны, т.е. площадь поперечного сечения стержня наполовину составлена из волокон и наполовину из смолы. Тогда силы распределятся между смолой и волокнами в зависимости только от модулей Юнга.

Исходя из данных, можно записать два уравнения:


Распишем второе уравнение:


Допустим, что P = 10 000 Н и определим, сколько Н возьмут на себя углеродные волокна:

Обе рассмотренные в данном уроке задачи являются статически неопределимыми, только первая статически неопределима с точки зрения нахождения опорных реакций, а вторая – с точки зрения распределения напряжений в поперечном сечении. Однако в обоих случаях распределение сил или напряжений происходит пропорционально жёсткостям.

Понимание простого правила, что чем жёстче что-либо, тем большую силу оно воспримет, помогает с идеализацией многих сложных конструкций.


Например, типовой каркас крыла самолёта состоит из продольных элементов (лонжероны, стрингеры), поперечных элементов (нервюры) и покрывающей всё это «дело» обшивки. Под действием набегающего потока воздуха крыло начинает гнуться. Однако элементы каркаса крыла включаются в изгиб по-разному, в зависимости от того, насколько высока их изгибная жёсткость. Во многих учебниках по конструкции самолётов пишут, что изгиб крыла воспринимается лонжероном (при однолонжеронной конструкции). И это действительно так, но это так не потому, что так пишут в учебнике, а потому, что жёсткость лонжерона на изгиб значительно выше жёсткости на изгиб той же обшивки, которая, к слову, тоже гнётся. Ведь при помощи крепежа элементы каркаса крыла стали единым целым, т.е. выполняется совместность деформаций.