Статически неопределимые задачи (Балка)


Ранее были рассмотрены лишь такие балки, в которых все реакции находились только из условия статики. Иными словами, при определении реакций опор для статически определимых задач мы не учитывали геометрию поперечного сечения и материал балок, ибо нагрузка в таких балках «идёт» к опорам по единственно возможному пути. Таким образом, если мы в такой конструкции уберём какую-то опору, то конструкция как таковая перестанет существовать.

Если же балка будет излишне закреплена, то число опорных реакций превысит число уравнений статики (для плоской задачи есть 3 уравнения статики), тогда задача становится статически неопределимой. Примеры нескольких плоских статически неопределимых задач: 


На самом деле их гораздо больше. Так, например, цельная балка может по своей длине опираться не на два, а на множество шарниров. Такие балки называют многоопорными неразрезными, и они также являются статически неопределимыми.

Как же решать такие задачи?

Точно так же, как и статически определимые, т.е. сначала надо определять опорные реакции.

Но в этом-то и есть главная трудность в решении статически неопределимых задач – невозможность определения опорных реакций только из уравнений равновесия. Необходимо как-то получить дополнительные условия, уравнения.

В модуле про осевое нагружение была рассмотрена статически неопределимая задача с нагружением стержня, для решения которой была рассмотрена деформация частей этого стержня и использовано связывающее эти деформации условие – условие совместности деформаций.

Как и для случая осевого нагружения, при изгибе статически неопределимых балок так же попытаемся определить реакции опор, используя деформации балки.

Так как нужно рассмотреть деформацию балки, то нужно как-то вывести уравнение упругой оси для всех её участков. Но как его вывести, когда не получается найти реакции опор? С другой стороны, эти же лишние закрепления дают и дополнительные граничные условия для уравнений прогибов, и из этих условий наверняка можно получить дополнительные соотношения между неизвестными реакциями. Попытаемся с их помощью раскрыть статическую неопределимость.

Решим задачу: требуется определить опорные реакции для балки, защемлённой двумя концами и нагруженной сосредоточенной силой P.


Опоры заменяются своими реакциями на балку:


И, хотя прогибы балки под нагрузкой вызовут осевые реакции XA и XB (так называемый распор), по причине отсутствия внешней осевой нагрузки эти реакции рассматривать не будем.

Можно попробовать определить реакции YA, YB, MA, MB, используя уравнения статики.

Сумма проекций всех сил на ось игрек равна нулю:


Сумма моментов относительно опоры A равна нулю:

Действительно, опорные моменты MA и MB – две лишние реакции. Без них балка стала бы просто шарнирно опёртой, и её опорные реакции нашлись бы из уравнений равновесия. Или же, если убрать YB и MB, то получится простая консольная балка. Иными словами, имеется две лишние реакции.
Для получения уравнения прогибов необходимо получить уравнение для изгибающих моментов для каждого участка.

Первый участок:

Второй участок:



При x=a как наклон касательной к изогнутой оси, так и прогиб для обоих участков равны:


Для данной балки имеются следующие граничные условия:

  • При x=0, y=0, (первый участок)
  • При x=0, dy/dx=0, (первый участок)
  • При x=a+b, y=0, (второй участок)
  • При x=a+b, dy/dx=0, (второй участок)

Применим первое условие:


Применим второе условие:

Применим третье условие:

Применим четвёртое условие:

Получилась система из двух уравнений с двумя неизвестными:


Можно из обоих уравнений выразить MA:

Можно приравнять эти выражения и получить YA:

Найдя YA, можно определить MA:

Остальные реакции можно определить из имеющихся уравнений статики:

Данный метод отыскания опорных реакций для статически неопределимых задач применим для абсолютно всех балок, независимо от количества опор, типов и количества нагрузок и т.п. У него есть лишь одно ограничение – это трудоёмкость решения. А чем более громоздкое решение, тем больше вероятность допустить в нём ошибку.

Потому, по факту, дифференциальное уравнение изогнутой оси используют только в случаях однопролётных балок при небольшом числе внешних нагрузок, и когда в дальнейшем будет необходимо определение прогибов. Иными словами, данный подход применим, когда количество участков, на которых видоизменяется функция изгибающего момента M, не велико.