Расчёт на прочность при сложном нагружении


Вплоть до это момента сложное нагружение анализировалось только с точки зрения действующих напряжений, т.е. искались напряжения на различных наклонных площадках, искались углы наклона этих площадок и т.д. Однако для проведения расчётов на прочность необходимо также знать и допускаемые напряжения.

В случае осевого растяжения вопрос о нахождении допускаемых напряжений сводился к диаграмме растяжения. Там в этом отношении всё было достаточно просто и прозрачно: хочется работы материала в пределах упругости? – ограничь допускаемые напряжения пределом текучести (с учётом коэффициента безопасности); хочется, чтобы материал воспринял максимально возможную нагрузку и при этом не разрушился? – ограничь допускаемые напряжения пределом прочности (с учётом коэффициента безопасности).

Несколько иначе дело обстоит в случае сложного нагружения, когда, например, к нормальному напряжению в одном направлении добавляется нормальное напряжение в перпендикулярном ему направлении. Или когда на такой элемент действуют ещё и сдвиговые напряжения…

Самый очевидный выход из такой ситуации – это проведение опытов. Если для элемента обшивки фюзеляжа самолёта известны отношения всех составляющих напряжений и эти отношения постоянны во времени, то можно взять пластину и вызвать в ней напряжения, находящиеся в необходимом отношении между собой. И точно так же, как и в случае осевого растяжения, определить две точки-комбинации напряжений: 1) начало пластических деформаций, и 2) разрушение.

Проблема только в том, что составляющие напряжения обшивки меняются в течении полёта и, что самое главное, меняются их соотношения друг к другу. Значит, надо провести опыты для всех возможных отношений компонентов напряжений. Но таких опытов может быть бесчисленное множество.

И здесь начинается область различных гипотез и предположений.

Первое, что можно предположить, что разрушение при сложном нагружении, как и в случае осевого растяжения, произойдёт, когда одно из главных напряжений достигнет своего предела прочности (а текучесть, соответственно, начнётся при достижении предела текучести). При этом другие главные напряжения никак не учитываются. То есть если проверять обшивку фюзеляжа на прочность согласно этой гипотезе, то следует определить главные напряжения в материале обшивки и сравнивать наибольшее главное напряжение с пределом текучести или прочности. Эта теория прочности является исторически самой первой, однако она подтверждается опытами лишь для некоторых хрупких материалов, таких как камень, кирпич, бетон, стекло, фарфор и т.д. то есть для нашего случая с металлической обшивкой она не подходит.

Первая теория прочности выглядит следующим образом:

Второе предположение, которое можно сделать, аналогично первому, только здесь наиболее опасно влияние наибольших деформаций. В общем случае наибольшая относительная деформация находится по формуле:

Отсюда можно получить наибольшее напряжение для сложного напряжённого состояния:

Эта теория прочности косвенно учитывает влияния среднего и меньшего напряжения, однако и она подтверждается опытами только для некоторых хрупких материалов. Таким образом, вопрос о расчёте обшивки на прочность пока остаётся открытым.

Со временем, когда люди накопили достаточный опыт, провели много экспериментов с различными материалам, то они заметили, что пластичные металлы, если и не разрушаются по наклонным сечениям, то при пластическом течении выделяют на поверхности наклонные линии, образующие некоторое подобие сетки. Эти линии называют линиями Людерса-Чернова. Они наклонены под углами приблизительно в 45 градусов, что свидетельствует о влиянии касательных напряжений на возникновение предельных состояний в материале (под предельными состояниями понимается как начало пластических деформаций, так и разрушение).

Это привело к возникновению теории наибольших касательных напряжений или третьей теории прочности. Согласно ей, материал перейдёт в пластическое состояние или разрушится тогда, когда наибольшее касательное напряжение в материале достигнет предела текучести или предела прочности. Для плоского нагружения наибольшее касательное равно:


Для расчёта обшивки на прочность необходимо найти максимальное действующее касательное напряжение по данной формуле и сравнить его с касательным напряжением в материале, соответствующем либо пределу текучести (касательные напряжения при пределе текучести) σт/2, либо пределу прочности (касательные напряжения при пределе прочности) σпч/2 для простого осевого растяжения.

Для объёмного нагружения при нахождении максимального касательного напряжения не учитывается среднее главное напряжение σ2:


Теория наибольших касательных напряжений хорошо подтверждается опытами над пластичными материалами, одинаково хорошо сопротивляющимися растяжению и сжатию. Однако она имеет несколько недостатков. Во-первых, она не подходит для расчёта хрупких материалов. Во-вторых, для объёмного нагружения она не учитывает среднее напряжение, которое так или иначе оказывает влияние на прочность. В-третьих, и для плоского, и для объёмного нагружения она даёт неадекватные результаты для случаев, когда все главные напряжения приблизительно равны по значению и по направлению. Напомню, что круг Мора для таких случаев превращается в точку.

Тем не менее, по третьей теории прочности уже можно считать металлическую обшивку на прочность.

Однако наличие недостатков третьей теории прочности не позволяло учёным прекращать поиски новой теории, более точно описывающей начало текучести и разрушения пластичных материалов.

Основу такой теории заложил тот факт, что при пластическом течении материалов коэффициент Пуассона становится равным 0.5, а при коэффициенте Пуассона 0.5 при деформации меняется только форма, объём же остаётся неизменным. И, так как полная потенциальная энергия деформации тела состоит из двух составляющих, потенциальной энергии изменения объёма и потенциальной энергии изменения формы, то, в силу неизменности объёма, при пластических деформациях следует рассматривать только потенциальную энергию изменения формы. Для объёмного нагружения эта энергия определяется формулой:

Для проверки прочности нужно определить предельное значение этой энергии. Оно находится по этой же формуле, только для простого растяжения:


В этой теории прочности полагается, что опасное количество энергии формоизменения не зависит от вида напряжённого состояния, потому формулы для сложного нагружения и для растяжения приравниваются:




Откуда можно найти эквивалентные напряжения:




Полученные эквивалентные напряжения связывают сложное напряжённое состояние с одноосным напряжённым состоянием таким образом, что оба состояния равноопасны, т.е. у них одинаковые запасы прочности.

То есть для того, чтобы проверить обшивку на прочность, требуется найти главные напряжения σ1 и σ2, учесть, что σ3=0, по выведенной формуле определить эквивалентное напряжение, и сравнить его с пределом текучести или с пределом прочности на осевое растяжение.

Четвёртая, или энергетическая, теория прочности хорошо подтверждается опытами над пластическими материалами, и она, так же, как и третья, не подходит для хрупких материалов. И так же, как и в третьей, она выдаёт нулевое эквивалентное напряжение в случае равенства всех напряжений по модулю и по направлению. Однако для сложного нагружения она позволяет учесть все три главных напряжения, что является её плюсом в сравнении с третьей.

Существуют и другие теории прочности, с которыми рекомендуется ознакомиться самостоятельно.

Важно понимать, что все изложенные сейчас теории прочности справедливы только для изотропных материалов. И хотя в природе не существует чистых изотропных материалов, но большинство металлов можно считать таковыми. Для анизотропных же материалов существуют свои теории прочности.

Подведём итог. Запас прочности при сложном нагружении считается по формуле:

Эквивалентные напряжения считаются по различным теориям прочности, в зависимости от свойств материала:


Допускаемые напряжения [σ] берутся для простого осевого нагружения, т.е. либо по пределу текучести, либо по пределу прочности.

Первые две теории принято считать теориями отрыва или хрупкого разрушения, т.к. в них определяющими факторами были либо нормальные напряжения, либо соответствующие деформации. Третью и четвёртую теории принято считать теориями сдвига (среза) или вязкого разрушения, т.к. и третья, и четвёртая теория, по сути, являются теориями касательных напряжений, только в третьей это максимальные напряжения, а в четвёртой – средние или октаэдрические.

Важно также сказать, что, например, третья теория прочности будет точнее в тех случаях, когда главные напряжения имеют противоположные знаки. И чем больше будет между ними разница, тем больше будет радиус круга Мора, и тем больше будут касательные напряжения. Однако чем меньше будет круг Мора (с крайним случаем в виде круга Мора - точки), тем менее адекватные результаты будет давать третья теория прочности.Ведь если к квадратной пластинке приложить одинаковые силы со всех четырёх сторон, то, согласно третьей теории прочности, в ней вообще не будет касательных напряжений, а, следовательно, такая пластинка из вязкого металла вообще не должна начать пластически деформироваться и даже разрушаться, что противоречит действительности...