Расчёт на прочность, понятие напряжения

Имея на руках зависимость удлинения от осевой силы, уже можно определять безопасные размеры для различных конструкционных элементов или проверять достаточность уже имеющихся размеров. Иначе говоря, уже можно проводить расчёты на прочность.

Давайте решим такую задачу: необходимо подобрать толщину троса для лифта. Тросом планируется поднимать груз массой не более 200 кг (вес принять 2000 Н). Материал троса – сталь, такая же, как в опыте на растяжение. Допускаем, что трос не плетёный, а цельный и имеет круглое поперечное сечение. Для простоты собственным весом троса пренебрегаем.

Диаграмма для стали:


Сначала определимся с допускаемой силой для образца из опыта. Так как хочется, чтобы трос при действии нагрузки не имел остаточных деформаций, то допускаемая сила должна быть на линейном участке, с учётом некоторого запаса. Пусть допускаемая сила, например, будет равна P = 16000 Н.

Образец в опыте имел диаметр D = 10 мм, следовательно площадь его поперечного сечения равнялась F = 78.5 мм2.

Эта сила P распределена по площади сечения F. Чтобы получить силу, приходящуюся на единицу площади, поделим:


Мы получили относительную величину, по которой можно найти необходимую площадь поперечного сечения для имеющегося нагружения. Давайте назовём эту величину напряжением и обозначим греческой буквой сигма σ. В итоге получим необходимую площадь поперечного сечения:


Отсюда можно получить искомый диаметр:


Задача решена. Для статического поднятия груза весом 2000 Н достаточно условного троса диаметром 4 мм. При такой толщине материал не выйдет в пластическую область диаграммы и тем более не разрушится.

Теперь решим обратную задачу: проверим достаточность размеров спроектированной конструкции.

Имеется конструкция, в которой два стержня (I и II) соединены шарнирно и каждый по отдельности прикреплён к шарнирным опорам. В месте соединения стержней подвешен груз весом 10 000 Н. Нужно оценить прочность наклонного стержня, если известно, что он сделан из алюминиевого сплава, использованного в опыте на растяжение, и имеет круглое поперечное сечение диаметром 6 мм.

Первое, что необходимо сделать – это определить силу, с которой растягивается наклонный стержень. Почему наклонный стержень растягивается, а, например, не сжимается? Потому что в данной задаче сила действует вниз и тянет наклонный стержень за собой. Что касается горизонтального стержня №2, то для данного направления действующей силы он будет сжат, что чуть менее очевидно, но что соответствует действительности.

Возвратимся к определению силы в первом стержне. Сделать это можно из условия равновесия узла, в котором приложена сила. Для этого стержни 1 и 2 заменяются своими реакциями на действующую силу: P1 - реакция первого стержня; P2 - реакция второго стержня.

Реакция во втором стержне даёт нулевую проекцию на вертикальную ось, т.е. действующая по вертикали сила 10 000 Н может быть уравновешена только реакцией наклонного первого стержня. Из тригонометрических соотношений можно получить, что сила P1, действующая в первом стержне, равна 14 142 ньютона:

Это решение можно проверить графически - сумма всех векторов должна равняться нулю:

Чтобы получить действующие напряжения в наклонном стержне, сначала нужно определить площадь его поперечного сечения:

Теперь получим действующие напряжения растяжения:

Теперь соотнесём это напряжение с площадью поперечного сечения образца из опыта и получим точку на диаграмме:

Точка на диаграмме:

Точка оказалась в нелинейной области диаграммы, и наверняка деформация при данной нагрузке окажется неупругой.

Есть также риск того, что использованный в конструкции алюминиевый сплав может продемонстрировать иные характеристики, отличные от того, что было показано в опыте. Или может быть другая технология получения детали, что также повлияет на различие в механических характеристиках.

Так что если конструкция к данному моменту ещё не разрушилась, то для большей надёжности лучше бы её доработать, предварительно проведя для этого соответствующий расчёт.


Исторически в механике было принято сделать шаг в ущерб точности во имя рациональности. Люди не хотели учитывать микроструктуру материала, а приняли твёрдый материал (или иную среду, жидкую или газообразную) сплошным.

Это - так называемая гипотеза сплошности. В ней предполагается, что материал полностью заполняет занимаемый им объем.

И механика деформируемого твёрдого тела, и гидромеханика, и аэромеханика базируются на этой гипотезе.

Известно, что метал на микроуровне имеет зернистую структуру, т.е. фактически, в материале имеются пустоты. Этот факт запрещает просто соотносить действующую силу с площадью поперечного сечения и требует учёта всех возможных пустот. Таким образом, фактическая площадь материала в сечении, участвующего в передаче нагрузки, станет меньше.


Однако, наличие этих пустот можно видеть лишь с помощью микроскопов, в то время как "на глаз" металл представляется материалом сплошным.