Прогибы балок


Как и в случае осевого нагружения, в изгибе будем допускать лишь малые деформации. Напомню, что для определения удлинений при растяжении за длину берётся исходная недеформированная длина, несмотря на тот факт, что при равномерном приложении нагрузки с каждым её увеличением увеличивается и исходная длина в каждый момент времени. То же самое и в изгибе – принимаем, что прогибы балки не влияют на её работу под нагрузкой и итоговая нагрузка прикладывается к недеформированной балке. На основе этого допущения выведем формулу для расчёта прогибов.

Имеющейся балочной теории достаточно лишь для того, чтобы определять прогибы для балок, где имеется участок чистого изгиба, на котором постоянен радиус кривизны.
Его можно определить из формулы:

Максимальный прогиб в таком случае определяется как высота сегмента окружности радиуса r.

Однако в общем случае изгиба имеется поперечная сила Q, и, как следствие этого, меняется изгибающий момент M. И если балка имеет постоянное сечение по длине, то тогда меняется и радиус кривизны.

Чем больше момент в сечении, тем меньше будет радиус кривизны.

Важно упомянуть, что при общем случае нагружения на балку будет действовать поперечная сила, которая также может оказывать влияние на прогибы. Хотя в длинных балках, где успевает «набежать» достаточно большой изгибающий момент, её влияние на прогибы становится крайне незначительным, в коротких балках обычно учитывают влияние сдвиговых деформаций, хотя и для их учёта требуется более сложная техника расчёта. В пределах данного курса мы ограничимся определением прогибов балок только от изгибающих моментов, действующих их сечениях.

Для того, чтобы при определении прогибов балок учитывать изменение изгибающего момента и, следовательно, радиусов кривизны, нужно получить зависимость кривизны кривой (а, следовательно, и момента M) от координаты x и y.

В курсе математического анализа даётся вывод формулы для кривизны плоской кривой:


Для заинтересованных ниже приводится вывод данной формулы.

Пусть имеется график функции y(x):


Отметим точку на графике m и проведём касательную к графику в этой точке. Угол между касательной и осью x обозначим как α:

На некотором расстоянии ∆s от точки m на графике обозначим точку m1, в которой также проведём касательную к графику. Угол между касательной и осью x обозначим как α–∆α:

Приращение по иксу – dx, приращение по игреку – dy:

С физической точки зрения кривизна – это:

Нужно избавиться от α и от s, выразив их через координаты y и x:


По определению производной:


Получим:

Рассмотрим второй множитель:

ds можно преобразовать по теореме Пифагора:

Подставим в итоговое выражение:

С геометрической точки зрения кривизна равняется:

Получившееся уравнение связывает радиус кривизны с координатами икс (сечение балки) и игрек (её прогиб).

Используя выведенные ранее зависимости, получим:


Это уравнение называют дифференциальным уравнением упругой оси. Оно нелинейно и пользоваться им для решения практических задач крайне неудобно. Однако можно заметить, что в отношении dy/dx (dy/dx – это наклон касательной к кривой в какой-либо точке) dy весьма мало для случаев малых прогибов относительно dx (малых – относительно длины балки). И уж тем более квадрат этого отношения стремится к нулю. Фактически, это обращает знаменатель в единицу и значительно упрощает выражение:


Удобнее записать так:


Для получения прогибов, это уравнение следует дважды проинтегрировать по dx.

Для наглядности рассмотрим пример. Пусть имеется шарнирно опёртая балка с равномерно распределённой нагрузкой:



На самом деле, такое нагружение справедливо для каждой шарнирно опёртой балки, ведь никто не отменял земную гравитацию. Ну и нам хотелось бы определить прогибы этой балки, как наибольший, так и в любой желаемой нами точке.

Для начала определим опорные реакции:





Чтобы определить прогибы, нам нужно знать модуль Юнга материала E, момент инерции сечения Iz (он не должен меняться по длине) и зависимость изгибающего момента по длине. Допустим, у нас есть свойства материала и характеристики сечения. Теперь нужно получить зависимость M(x).


Проинтегрируем по dx:


Здесь C – постоянная интегрирования. Её можно определить из граничных условий:

  • При x=0, прогиб балки y=0
  • При x=L, прогиб балки y=0

Данные граничные условия нельзя использовать в полученном выше уравнении, так как оно для углов поворота dy/dx, а необходимо уравнение прогибов y(x). Для получения уравнения прогибов проинтегрируем ещё раз по dx:


Здесь D – ещё одна постоянная интегрирования. Так как полученное уравнение является функцией прогибов балки, то можно использовать имеющиеся граничные условия.

Первое условие:

Второе условие:

Итого:

Уравнение для углов поворота:

Уравнение для прогибов:

Решим задачу отыскания места наибольшего прогиба и величину этого прогиба. В месте наибольшего прогиба производная функции прогиба будет равна нулю. Т.е. надо полученное выражение для dy/dx приравнять к нулю:


Уравнение имеет три корня:


Второй корень при какой бы то ни было длине балки L получается отрицательным; третий корень при какой бы то ни было длине L получается большим, чем длина балки. Остаётся только первый корень L/2, значит наибольший прогиб будет в середине пролёта, что для данного примера достаточно очевидно.

Место наибольшего прогиба также можно определить, построив непосредственно график функции прогибов. Это гораздо легче способа с решением кубического уравнения.

Для этого рассмотрим частный случай. Пусть:


Для построения графика функции прогибов воспользуемся программой MS Excel. Прежде чем это сделать, необходимо ещё раз проверить свои вычисления, так как при решении громоздких уравнений легко допустить ошибку, что может привести к ошибочным результатам.

После построения получим:


Из графика можно определить как место наибольшего прогиба, так и его величину, а также прогибы в любых интересующих точках.

Наибольший прогиб:


В качестве второго примера решим следующую задачу. Необходимо найти прогибы шарнирно опёртой балки при действии распределённой силы q и сосредоточенной силы P, если балка сделана из стали с модулем упругости E = 200 000 МПа, и имеет прямоугольное поперечное сечение с размерами B и H (размеры будут даны позже, сначала задача будет решена в общем виде).


Необходимо найти прогибы шарнирно опёртой балки при действии распределённой силы q и сосредоточенной силы P, если балка сделана из стали с модулем упругости 200 000 МПа, и имеет прямоугольное поперечное сечение с размерами B и H.

На балку действует два вида нагрузок: распределённая и сосредоточенная. Допустим, что последовательность приложения этих нагрузок не оказывает влияния на работу балки, т.е. результат действия суммы всех сил тот же, что и сумма результатов действия всех сил по отдельности. Это так называемый принцип независимости действия сил. Он вполне согласуется с тем, что происходит в реальности. Тогда данная задача распадается на три подзадачи:

  • Определение прогибов шарнирно-опёртой балки при распределённой нагрузке;
  • Определение прогибов шарнирно-опёртой балки при сосредоточенной нагрузке;
  • Суммирование прогибов.


Первая подзадача уже решена и уравнение прогибов имеет следующий вид:


Решим вторую подзадачу:

Опоры заменяются своими реакциями на балку:

Из уравнений статики получается, что:


В отличие от случая распределённой нагрузки, здесь имеется два участка, на которых функция изгибающего момента меняет свой вид.


Первый участок:

Имея дифференциальное уравнение упругой оси

Получим:

Проинтегрируем по dx и получим уравнение углов поворота для первого участка:

Ещё раз проинтегрируем по dx и получим уравнение прогибов для первого участка:



Теперь рассмотрим второй участок:

Проинтегрируем по dx и получим уравнение углов поворота для второго участка:

Ещё раз проинтегрируем по dx и получим уравнение прогибов для второго участка:


Получилось четыре неизвестных постоянных интегрирования: C1, D1, C2, D2.

Для их определения имеются следующие граничные условия:

  • x=0, y=0 (первый участок)
  • x=a, dy/dx (1) = dy/dx (2) (для обоих участков)
  • x=a, y (1) = y (2) (для обоих участков)
  • x=L, y=0 (второй участок)

Для определения зависимости между соответственными постоянными интегрирования на обоих участках, используем условия, что угол поворота и прогиб в месте приложения силы P равны для обоих участков:

Для определения D используем условие x=0, y=0 для уравнения прогибов первого участка:

Для определения C используем условие x=L, y=0 для уравнения прогибов второго участка:

Итого получим:

При

Для построения графика прогибов зададимся значениями:


Момент инерции сечения относительно изгибаемой оси:


Для построения графиков прогибов использована программа MS Excel.


Прогибы балки от сосредоточенной нагрузки:



Прогибы балки от распределённой нагрузки:



Суммарные прогибы:

Применение принципа суперпозиции для решения задач (отыскания прогибов и т.д.) удобно лишь тогда, когда у вас уже имеются готовые решения для отдельных нагружений и остаётся только просуммировать результат. В остальном, в большинстве случаев бывает проще посчитать балку сразу с учётом всех нагрузок.