Поперечная сила и изгибающий момент


Определение реакций опор – первая часть решения задачи изгиба балки. Но для расчёта её на прочность необходимо определить напряжения. В случае изгиба встаёт проблема выбора сечения – в каком месте балки будут действовать наибольшие напряжения? Это и есть цель данного урока – нахождение наиболее опасных участков балки для последующего расчёта на прочность.

В случае осевого нагружения для определения напряжений был использован метод сечений. Тогда рассматривались все возможные сечения (поперечное, наклонное и продольное), однако в расчёте на прочность фактически участвовали только два: поперечное и наклонное.

При изучении изгиба для простоты будем рассматривать поперечные сечения.

Рассмотрим балку с шарнирно опёртыми концами, на которую действуют вертикальные силы P1, P2 и P3. Для неё требуется определить наиболее опасные участки, где будут действовать наибольшие напряжения, т.е. где она может сломаться.


Мысленно рассечём балку поперечным сечением mn, которое расположено, скажем, на расстоянии x от левой опоры, и отбросим правую часть балки.


Если балка выдерживает приложенные к ней нагрузки (собственно, что от неё и требуется), то тогда в рассматриваемом сечении mn должны действовать внутренние силы, которые уравновешивают силы слева от этого сечения.



Две силы N и Q, а также момент M действуют в сечении mn рассматриваемой балки.

Данные внутренние силы заменяют собой действие отброшенной правой части на левую. Если бы отбрасывалась не правая часть, а левая, то эти силы имели бы такое же значение по модулю, но направлены в противоположную сторону.

N – это осевая сила в сечении, которая, в зависимости от своего направления, вызывает растяжение или сжатие. Она может отсутствовать во многих задач по изгибу балок, однако её наличия не надо бояться, т.к. осевое нагружение уже изучено в достаточном объёме.

Q – это поперечная (сдвиговая, перерезывающая) сила в сечении, которая сдвигает сечение относительно соседних. Поперечная сила – это результирующая касательных напряжений, действующих в сечении (при отсутствии кручения).

M – изгибающий момент, который поворачивает сечение относительно смежных ему сечений. Изгибающий момент в сечении – это результирующая нормальных напряжений в сечении (при отсутствии нормальных напряжений от N).

Направление этих внутренних сил выбрано произвольно (например, пусть сила Q сдвигает левую часть балки вниз, а момент M изгибает левую часть балки выпуклостью вниз), однако в дальнейшем будут оговорены некоторые традиции, сложившиеся в расчётах на прочность, касающиеся принимаемых направлений для этих внутренних сил. Эти внутренние силы (и момент) можно определить из уравнений статики:

1. Сумма сил на ось икс:

2. Сумма сил на ось игрек:


3. Сумма моментов относительно mn (имеется в виду относительно точки, расположенной в центре тяжести сечения mn). Положительное и отрицательное направления выбираются произвольно, т.к. в случае равенства суммы нулю знаки всегда можно регулировать умножением на (-1):


Сечение mn можно выбрать в любом месте данной балки. Однако, в зависимости от его положения, будут меняться и выражения для Q и M:







Получились другие выражения.
Для того же, чтобы понять, где будет опасное место балки, решим её не в общем виде, а в частном, т.е. зададимся значениями для сосредоточенных сил и для расстояний.


Пусть:

  • P1=P2=P3=5 000 Н,
  • c1=1 000 мм,
  • c2=2 000 мм,
  • c3=3 000 мм,
  • l=4 000 мм

Решение.

1. Находятся реакции опор.

Уравнение равновесия сил относительно оси икс даёт XB=0.

Уравнение равновесия сил относительно оси игрек даёт:


Уравнение моментов относительно левой опоры даёт:


2. Находятся функциональные зависимости Q и M в зависимости от координаты сечения для всей балки.

Для этого балка делится на участки.

_____________________________________________________________________

Внутренние силы и момент на участке от левой опоры до силы P1 (0≤x≤1000):



Сила Q постоянна по длине участка. Момент M меняется по линейной функции.

_____________________________________________________________________

Внутренние силы и момент на участке от P1 до P2 (1000≤x≤2000):



_____________________________________________________________________
Внутренние силы и момент на участке от P2 до P3 (2000≤x≤3000):



_____________________________________________________________________

Внутренние силы и момент на последнем участке от P3 до правой опоры (3000≤x≤4000):



_____________________________________________________________________

3. Чтобы при расчёте балки иметь наглядное представление, где будет самое опасное сечение, где менее опасное, какое сечение вообще не будет нагружено и т.д., можно построить графические зависимости Q(x) и M(x):

График зависимости Q(x):


График зависимости M(x):


По получившимся графиками можно получить ответ о наиболее опасном месте балки.

С точки зрения поперечной силы, наиболее опасными являются крайние к опорам участки.

С точки зрения изгибающего момента, наиболее опасной является середина пролёта балки.


Чаще всего и Q(x) и M(x) – кусочно-заданные функции, но бывают и случаи, когда вся балка описывается одной функцией.

Такие графики крайне удобны по причине своей наглядности. Но в инженерной практике чаще всего не строят систему координат полностью, а ограничиваются непосредственно самим графиком, который называют эпюрой («эпюра поперечных сил» или «эпюра изгибающих моментов»). Очень часто даже не учитывают масштаб, лишь подписывая характерные точки.

Для удобства эти эпюры строятся под расчётной схемой:


На практике также можно встретить эпюры и для осевого нагружения стержней. Они встречаются тогда, когда имеется большое количество внешних осевых сил, приложенных к стержню. Принцип построения эпюр для таких случаев схож с изложенным ранее: стержень делится на участки, и для каждого участка методом сечений ищутся внутренние силы.



Вводя обозначения для внутренней силы Q и внутреннего момента M, мы условились с их направлениями:


Эти направления выбраны при рассмотрении равновесия левой части балки, т.е. мы отбросили правую часть балки, а её действие заменили внутренними силами и моментом.

Если рассматривать правую часть балки, отбрасывая левую, то стрелки будут направлены в противоположную сторону.

Почему было важно условиться с направлениями для Q и особенно для M?

Бывают такие случаи, когда балки имеют громоздкие расчётные схемы с большим количеством усилий, опор и т.д. Для таких случаев бывает тяжело (да и попросту невозможно) интуитивно определить, где именно, сверху или снизу, изгиб будет вызывать растяжение или сжатие.

В рассмотренном случае всё очевидно:


Все силы приложены вниз, а, следовательно, сжатие будет в верхних волокнах балки, а растяжение в нижних.

Но, как уже было сказано, такие простые расчётные схемы бывают не всегда.

Так вот, согласно выбранным нами направлениям, если изгибающий момент в сечении положителен, то верхняя часть балки в этом сечении будет сжата.

По таким направлениям эпюра строится «на сжатом волокне», т.к. верхние волокна находятся в сжатии.

Если же при рассмотрении левой части балки будут выбраны прямо противоположные направления, то для такого случая эпюра будет построена «на растянутом волокне» и при положительном изгибающем моменте верхние волокна будут растянуты: