Особенности распределения напряжений по длине стержня



Расчётная схема опыта на растяжение имеет следующий вид:

Здесь перечёркнутая стрелка P обозначает реакцию неподвижной опоры на удаление подвижной опоры силой P.

Эта схема является упрощением более реальной, но и более сложной схемы. То есть сила P на схеме выше является результирующей какого-то сложного распределения, возникающего в месте соединения стержня и опоры:

Возникает вопрос – ведь нагрузки-то разные, и приложены неравномерно по торцам. Тогда почему тогда в уроке про закон Гука мы просто делили результирующую силу P на F и не учитывали неравномерность в распределении прикладываемой нагрузки? И почему тогда для опыта была принята упрощённая схема? Что именно позволило сделать такие допущения?

Для ответа на этот вопрос давайте проведём эксперимент.

Берём прямоугольный кусок резины и наносим поперечные линии по всей его длине:


Затем растягиваем его точечной нагрузкой (например, одним пальцем) и видим картину деформаций, а, следовательно, и напряжений:


Картина напряжений выглядит следующим образом:

Получается, что выражение для напряжения P/F справедливо только для достаточно удалённой от места приложения нагрузки области стержня.

Это явление (выравнивание напряжений) было обнаружено и впервые сформулировано французским учёным Адемаром Барре де Сен-Венаном.

Принцип Сен-Венана формулируется следующим образом:

Разница между эффектами от двух разных, но статически эквивалентных нагрузок становится очень малой на достаточно большом удалении от мест приложения нагрузок.

Строгого доказательства этого принципа для общего случая нет, однако он подтверждается и экспериментально, и численными методами и т.д.

Именно поэтому в законе Гука для нахождения напряжений использовалась простая формула P/F. И именно поэтому две разные с виду расчётные схемы с разными по форме прикладываемыми нагрузками дают одинаковое и равномерно распределение напряжений по сечениям, достаточно удалённым от места приложения нагрузки.

Однако неравномерности в распределении напряжений по длине стержня могут быть вызваны не только внешними нагрузками, но и меняющейся по длине тела геометрией. Такие резкие изменения поперечного сечения влекут за собой концентрации напряжений.

  • Самый распространённый пример в конструкциях – отверстия под крепёжные детали:


  • Также концентрация напряжений имеет место при резком изменении сечения

Концентрация напряжений в частях конструкций может возникать по двум причинам:

  1. Из-за контакта двух деталей. Примеры: зубчатая передача, шарикоподшипник, шпонка и т.д.
  2. Из-за резко меняющейся по длине стержня геометрии. Примеры: крепёжное отверстие, проточка на вале, галтель и т.д.


Концентрация напряжений может влиять на прочность материала по-разному в зависимости от характера нагружения:

  • Статическое нагружение (нагрузка не изменяется по времени) — влияние местных напряжений на прочность невелико. Возникновение напряжений, существенно превышающих предел текучести или даже предел прочности, может привести к местной текучести материала, но условий для её распространения и роста трещины не создаётся.
  • Циклическое нагружение (нагрузка циклически изменяется по времени) — концентрация напряжений является одним из основных факторов, приводящих к снижению прочности. В зонах концентрации напряжений создаются наиболее благоприятные условия для роста трещин.