Общие вопросы изгиба


Изгиб в конструкциях встречается повсеместно: мост через реку гнётся под собственным весом, а также под тяжестью проходящих или проезжающих по нему объектов; крыло летящего планера изгибается под действием набегающего потока; вагонная ось изгибается под действием веса вагона и т.д. Почти каждая конструкция непременно имеет элемент, работающий на изгиб. Всё это требует адекватного проектирования и расчётов.

Первый, и самый очевидный способ проектирования, это предварительное проведение экспериментов с реальными объектами на реальные нагрузки. Но такой подход чрезмерно затратный, потому нужно искать другой способ.

При рассмотрении осевого растяжения была введена относительная величина – напряжение. Это позволило абстрагироваться от геометрии стрежня, что, вообще говоря, сделало возможным процесс проектирования. Возможно, и в случае изгиба стоит применить относительную величину – напряжения? Однако те напряжения и относительные деформации выводились для растяжения и сжатия, являющихся простейшими деформациями. А изгиб – деформация сложная. Но эта сложная деформация является комбинаций двух простейших – растяжения и сжатия (а в общем случае и сдвига). Потому можно попробовать подступиться к изгибу, используя закон Гука для растяжения/сжатия, и уже аналитически выведенные закономерности для изгиба попробовать подтвердить экспериментально.

Однако, прежде чем это сделать, надо оговорить некоторые вещи.

В случае осевого нагружения, нагружаемые объекты условно называли стержнями. Элементы же, которые работают на изгиб, будем называть балками. И хотя и стержень, и балка, могут выглядеть абсолютно одинаково, но такое разграничение полезно для рутинной работы, где нужно чёткое понимание, на что рассчитывается элемент.

В случае осевого растяжения форма поперечного сечения не имела значения, т.к. единственное, что учитывалось – это его площадь (P/F, PL/EF). Однако если попытаться согнуть, например, линейку плашмя и на ребре одинаковой нагрузкой, то результат будет сильно различаться, т.к. согнуть линейку плашмя гораздо легче, чем на ребре. Это значит, что для изгиба важна форма сечения.

Для простоты будем рассматривать лишь такие сечения, у которых имеется плоскость симметрии yOx:





Пример сечений, подходящих под такое требование:


Пример сечений, НЕ подходящих под такое требование:


Важно сказать и о внешних нагрузках, которые вызывают изгиб.

Внешние нагрузки на балки передаются как в явном виде, так и при помощи крепежа (или без его помощи) от смежных элементов конструкции. Для простоты будем считать, что все эти нагрузки или их результирующие будут действовать в плоскости симметрии yOx так, что изгиб также будет происходить в этой плоскости. Это частный случай изгиба – плоский изгиб.

Рассматривая всё многообразие нагрузок, которые могут действовать на балку, можно для удобства выделить несколько типов:

  • Распределённая сила
  • Сосредоточенная сила
  • Сосредоточенный момент (встречается и распределённый момент, но для простоты его рассматривать не будем)

Если рисовать балку как линию, проходящую через центры тяжести её поперечных сечений, то можно проиллюстрировать каждый тип нагрузки:

__________________________

Распределённая сила


Приложенная по поверхности нагрузка в плоской задаче сводится к распределённой по длине нагрузке. Каждая нагрузка так или иначе является распределённой, но в некоторых случаях, в зависимости от задачи и решающего человека, её можно упростить до сосредоточенной.

__________________________

Сосредоточенная сила

Для упрощения расчёта можно распределённую нагрузку заменить статически эквивалентной сосредоточенной. Результирующая нагрузка прикладывается в центре тяжести площади фигуры, по которой распределяется нагрузка

__________________________

Момент

Момент силы – это произведение силы на плечо этой силы. Плечо силы – это кратчайшее расстояние (т.е. перпендикуляр) между линией приложения силы и центром вращения.

Есть два основных пути получения момента для изгиба балки: момент от пары сил и момент от одной силы. В случае действия пары сил одинаковых по величине, но противоположных по направлению (см. рисунок) на поперечный элемент, их действие на на горизонтальную балку балку заменяется моментом. В случае же действия на поперечный элемент одной силы её действие на горизонтальную балку заменяется осевой силой и моментом.

__________________________

Теперь надо определится с опорами с для балки. Балки могут явно опираться на что-либо (балка, лежащая на двух опорах, защемлённая в стену балка и т.д.), либо опираться на другой элемент конструкции при помощи крепежных деталей, сварки и т.п.

Почти всё многообразие опор для балок можно свести к трём условным типам:

  • Подвижный шарнир
  • Неподвижный шарнир
  • Защемлённый конец


__________________________

Подвижный шарнир (ролики)

Для плоской задачи подвижный шарнир ограничивает перемещение только в поперечном направлении (направление вдоль Y). Если взять балку и подпереть её роликами с двух концов, приложив поперечную силу, то ролики (до определённых прогибов) смогут воспринять внешнюю силу.

Но для такой балки будет недопустима какая-либо осевая нагрузка (вдоль оси X), т.к. ролики будут не способны среагировать на неё, и балка просто покатится.

На расчётных схемах шарнирно подвижная опора может обозначаться по-разному, однако суть её одна – ограничение перемещения балки только в поперечном направлении:

__________________________

Неподвижный шарнир

Суть шарнирной опоры – ограничение перемещений по всем направлениям (для плоской задачи это два направления, X и Y). При этом ограничиваются только перемещения, то есть балка может проворачиваться относительно шарнира.

__________________________


Защемлённый конец

Защемлённый конец так же, как и шарнир, ограничивает все перемещения, однако, вдобавок к этому, он ограничивает и поворот балки:

__________________________

Процесс выбора подходящей формы нагружения и опор для балки - это самый первый этап расчёта реального объекта. По результатам этой схематизации получается так называемая расчётная схема.

Для получения некоторого представления о переходе от реального объекта к расчётной схеме далее будет показано несколько примеров схематизации внешнего нагружения и опор.


Выбор расчётной схемы состоит из трёх этапов:

  1. Схематизация объекта
  2. Схематизация нагрузок
  3. Схематизация опор

В случае изгиба, изгибаемый объект представляется как линия, проходящая через центры тяжестей его поперечных сечений. Соответственно, длина этой линии/балки равна длине объекта (в большинстве случаев - бывают и исключения).


Схематизация нагрузок

Как уже было сказано, все нагрузки так или иначе являются распределёнными. Однако учитывать "распределённость" нагрузок на расчётных схемах не всегда целесообразно. Один из примеров, когда гораздо проще заменить распределённую нагрузку сосредоточенной, показан ниже.
Имеется консольная балка, к концу которой через крепёжную деталь подвешивается груз:

Справа показано отверстие под крепёж, а действие веса груза заменено распределённой нагрузкой.
Однако для расчёта балки эту распределённую нагрузку целесообразно заменить сосредоточенной:

Распределение нагрузки в месте крепежа практически не влияет на общую прочность балки. Это распределение оказывает влияние на местную прочность, т.е. прочность самого соединения


В показанном примере распределённая нагрузка действовала по достаточно короткому участку балки. Именно поэтому применение сосредоточенной силы правомерно. В случаях же, когда распределённая нагрузка действует по значительным по длине участкам, или даже по всей длине балки, то тогда замена её сосредоточенной нагрузкой недопустима. Например, подъёмная сила, действующая на крыло самолёта:

При расчёте крыла, моделирование подъёмной силы двумя сосредоточенными силами на каждой консоли приведёт к неадекватному расчёту.


В качестве заключения по вопросу схематизации нагрузок можно сказать, что вы не ошибётесь, если будет моделировать нагрузки так, как они действуют в реальности, т.е. используя распределённую нагрузку.

Схематизация опор

Было обозначено только три типовые опоры, в то время как в реальности всё намного сложнее. Как же понять, какую схематизацию выбрать для той или иной опоры?

Важно понимать, что три схематизированные опоры принимаются абсолютно жёсткими, в то время как реальные опоры имеют какую-то податливость. Например, есть балка, защемлённая в стену на какую-то незначительную длину и подпёртая вертикальной стойкой:

Формально, левая опора – заделка, а стойка – шарнир. Но:

Допустим, что подпирающая стойка достаточно гибкая, и не способна как-то значительно отреагировать на осевую нагрузку (сила приложена под наклоном). В таком случае шарнир становится подвижным, т.е. стойка обеспечивает только вертикальную реакцию.

Так же здесь важно оценить глубину защемления балки и податливость материала балки и материала стены. Если балка защемлена достаточно глубоко (относительно своих размеров), а так же материал балки и материал стены имеют значительный модуль упругости, то такая опора не даст балке провернуться при нагружении, т.е. такую опору можно принять за жёсткую заделку.

Однако, если балка заделана в стену лишь на малую часть своей длины и стена достаточно податлива (при жёсткой балке), то есть вероятность, что балка провернётся в стене, что соответствует шарнирному закреплению. Потому для данных опор принимается следующая расчётная схема:

Но бывают случаи, когда опору нельзя рассматривать ни как шарнир, ни как заделку. Например, если балка защемлена неглубоко, но при этом стена достаточно жёсткая и неподатливая, то такую опору можно смоделировать комбинациями двух расчётных схем: с шарниром и с заделкой.


Рассмотрим второй пример.

Двутавровая балка крепится к опорным швеллерам при помощи уголков.



Для данной конструкции уголки являются посредниками между двутавром и швеллером, но никак не опорами для двутавра. Такие детали чаще всего «приписываются» к самой балке. Иными словами, длина балки на расчётной схеме будет равняться 1000.

Опорами для балки будут являться швеллеры ('C' образные профили). Так как соединение с опорой осуществляется при помощи двух крепёжных деталей, то через них будет передаваться и момент. Вопрос в том, сможет ли швеллер воспринять момент без значительных поворотов сечения?

Так как приходящий момент будет закручивать швеллер, являющийся открытым сечением (открытые профили плохо сопротивляются кручению), то швеллер рассматривается как шарнирная опора. Расчётная схема представляет собой шарнирно опёртую балку с сосредоточенной нагрузкой посередине пролёта.



В случае крепления уголков к гораздо более жёстким на кручение элементам, шарниры на расчётной схеме следует заменить на защемлённые концы.

Чтобы начать изучать изгиб, лучше выбрать такие комбинации опор, чтобы они:

  • Во-первых, давали какую-то статичную систему, без механизмов
  • Во-вторых, чтобы реакции опор этой балки определялись только из уравнений статики

Говоря языком сопромата, сначала для простоты будем рассматривать только статически определимые балки, т.е. эти балки, условно говоря, расположены посередине между недозакреплёнными балками (механизмами) и излишне закреплёнными балками.

Для плоской задачи можно выделить четыре типа статически определимых балок:

  • Шарнирно опёртая балка
  • Консольная балка
  • Шарнирно опёртая балка с одной консолью
  • Шарнирно опёртая балка с двумя консолями

__________________________

Шарнирно опёртая балкаОдин из шарниров неподвижный (для восприятия осевой силы), другой шарнир – подвижный



__________________________
Консольная балка
Балка имеет только одну опору – защемлённый конец



__________________________
Шарнирно-опёртая балка с одной консолью

Как и в шарнирно-опёртой балке, имеется два шарнира (один подвижный, другой – неподвижный), но балка не ограничивается опорами, а «свешивается» с одной из них


__________________________

Шарнирно-опёртая балка с двумя консолями

Аналогична предыдущей балке, только здесь балка «свешивается» с двух опор




__________________________


Для того, чтобы рассчитать балку на прочность, жёсткость, сначала необходимо определить реакции её опор на внешнюю нагрузку. Делают это при помощи уравнений равновесия (уравнений статики). Для плоской задачи есть три уравнения статики:

  1. Сумма проекций всех сил (и реакций в том числе) на ось X должна равняться нулю
  2. Сумма проекций всех сил (и реакций в том числе) на ось Y должна равняться нулю
  3. Сумма моментов всех сил (и реакций в том числе), а также сосредоточенных моментов относительно какой бы то ни было точки системы должна равняться нулю

Для примера решим несколько задач на определение реакций опор балки.

Задача 1. Определить реакции опор шарнирно опёртой балки, показанной на рисунке ниже:



Решение.
Опоры заменяются своими реакциями на балку:



Направления реакций могут быть выбраны произвольно. Правильность же выбранного направления можно проверить, если решить задачу и получить числовые значение реакций. Если реакция получилась положительная, то её направление на расчётной схеме является правильным. Если же реакция получилась отрицательная, то она должна быть направлена в противоположную сторону. Чтобы не думать слишком долго над тем, куда же нужно направить опорные реакции, рекомендуется на первых порах направлять их по осям икс или игрек; в случае, если имеется жёсткое защемление и имеется опорный момент, то и там направлять его в произвольном направлении.


Если балка находится в равновесии под действующей нагрузкой (а в задаче предполагается, что её опоры достаточно прочны и жёстки, чтобы среагировать на силу), то к ней должны быть применимы уравнения равновесия.
Используя условие равновесия сил относительно оси X, получим:

Используя условие равновесия сил относительно оси Y, получим:

Используем третье условие равновесия: сумма моментов относительно любой точки (для удобства пусть это будет точка в левой опоре A) равна нулю. Пусть положительное направление момента задаётся направлением силы P (хотя можно и наоборот, главное, для разных направлений указывать разные знаки):

Из третьего уравнения равновесия уже можно определить одну из реакций:



Для определения реакции YA можно воспользоваться вторым уравнением, а можно снова рассмотреть сумму моментов всех сил уже относительно точки B и приравнять её к нулю.

Используя второе уравнение, получим оставшуюся реакцию:

Можно проверить это решение, если рассмотреть сумму моментов относительно точки B. Реакция YA должна совпадать с выражением выше.


Задача 2. Определить реакции шарнирно опёртой балки, показанной на рисунке ниже:



Опоры заменяются своими реакциями на балку:




Последовательность решения аналогична предыдущей задаче. Однако здесь появились новые виды нагружения – распределённая нагрузка с треугольным распределением и изгибающий момент.

Чтобы учесть распределённую нагрузку в определении реакций опор, можно найти результирующую этой нагрузки и определить местоположение этой результирующей. В итоге получится эквивалентная сосредоточенная сила, которой удобно пользоваться, чтобы определить реакцию.

Так как нагрузка имеет треугольный характер, то надо вспомнить, где у треугольника центр тяжести. Для данного треугольника нам важна только иксовая координата центра тяжести, которая расположена на 1/3∙b от прямого угла. Величина этой нагрузки равна площади фигуры, т.е. ½∙q∙b.

Получается следующее:



Теперь ничего не мешает записать уравнения статики.

Сумма сил на ось икс должна равняться нулю:


Сумма сил на ось игрек должна равняться нулю:


Сумма моментов всех сил относительно точки в опоре А должна равняться нулю:


Момент М закручивает балку в ту же сторону, что и распределённая нагрузка, потому их знаки одинаковы.

Отсюда можно найти YB:

Другую реакцию можно найти, используя сумму моментов относительно точки B:




В качестве проверки можно использовать второе условие статики.
__________________________


Проверки необходимо проводить ОБЯЗАТЕЛЬНО. Особенно, когда на балку действует большое количество сил, моментов. Другой вопрос, что её лучше всего проводить, имея на руках числовые значения.