Нормальные напряжения при изгибе


Для того, чтобы от внутренних сил перейти к напряжениям, необходимо распределить внутреннюю силу Q и внутренний момент M по поперечному сечению так, чтобы это распределение соответствовало реальной картине изгиба, наблюдаемой в опыте.

Вспомним, что момент M является результирующей нормальных напряжений в сечении (при отсутствии осевой нагрузки), а сила Q является результирующей касательных напряжений. Из этого можно сделать вывод, что в общем случае изгиба в сечении будут действовать как нормальные, так и касательные напряжения. То есть сечения изгибаемой балки будут как поворачиваться друг относительно друга, так и сдвигаться.

Следуя принципу «от простого к сложному», давайте сначала рассмотрим случай изгиба, когда в сечениях отсутствует сила Q, т.е. случай чистого изгиба.

Для того, чтобы правильно распределить момент M по сечению и разложить его на составляющие напряжения, можно для удобства рассмотреть изгиб бруса прямоугольного поперечного сечения.

До нагружения на боковой грани этого бруса нарисуем прямоугольник и нагрузим брус так, чтобы добиться чистого изгиба. После деформации нарисованный прямоугольник mmpp поменяет свою форму, как это показано ниже:


Допустим, что боковые линии mm и pp остались прямыми и на основе этой гипотезы (гипотезы плоских сечений) построим теорию изгиба.

Если замерить длину внешнего «волокна» ss’ и сравнить её со соответственной длиной ss1 в недеформированном прямоугольнике, то можно обнаружить, что длина «волокна» увеличилась (в дальнейшем под «волокном» будем понимать условную полосу материала с бесконечно малой площадью поперечного сечения).

Абсолютная деформация:

Если же рассмотреть внутреннее волокно (на рисунке сверху), то можно обнаружить, что там имеются аналогичные деформации, только не растяжения, а сжатия.

Где-то посередине между ними есть такое волокно nn1, длина которого осталась неизменной.

Чтобы от абсолютной деформации перейти к относительной, надо абсолютную деформацию поделить на исходную длину:

Если обозначить через r радиус кривизны изогнутой оси балки, то можно выделить два подобных треугольника: ∆nOn1 и ∆s1n1s’. Если обозначить расстояние волокна s’s1 до нейтрального слоя nn1 за y, то полученное выше относительное удлинение можно выразить через y и r:

Отсюда можно получить напряжения, вызывающие такие относительные деформации:

На основе многочисленных опытов было получено, что распределение напряжений по высоте сечения будет линейным и будет зависеть от расстояния до нейтральной оси nn – чем ближе к нейтральной оси расположено волокно, тем меньше напряжения будут в нём; и чем дальше от нейтральной оси расположено волокно, тем больше напряжения будут в нём. Только для этого должно соблюдаться условие – материал при изгибе работает в пределах пропорциональности и упругости, т.е. выполняется закон Гука. Также на основе опытов выяснилось, что напряжения в сечении не меняются в направлении, параллельном nn.

Зная напряжения в любом месте сечения, можно задаться малой площадкой dF и получить действующую в ней силу:

Момент этой силы относительно нейтральной оси равен:

Если просуммировать такие моменты по площади сечения, то можно получить внутренний момент M:

Для нахождения действующих напряжений можно из формул:

выразить радиус кривизны и приравнять оба выражения:

Отсюда можно получить выражение для напряжений в любом интересующем месте сечения:

Если же суммировать не моменты, а силы по площади, то тогда получается следующее:

Так как по одну сторону от нейтральной оси действует растяжение, а по другую сторону сжатие, то сумма этих напряжений по всей площади должна дать ноль:

Данный интеграл – это статический момент площади поперечного сечения. Если статический момент относительно какой-то оси равен нулю, то эта ось проходит через центр тяжести сечения.


Возвратимся к выражению для напряжений:

Выражение в знаменателе – это момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси nn. Обычно этот интеграл обозначают как I или J. Также указывают индексы, указывающие, относительно чего берётся такая сумма (например, оси координат y, z и т.д.). Формула для нахождения напряжений принимает вид:

Для решения практических задач выведены формулы моментов инерций для самых разных типов поперечных сечений, которые можно найти в соответственных учебниках и справочниках, однако будет полезным самостоятельно вывести формулы для некоторых простейших сечений.

Давайте выведем формулу момента инерции относительно оси z для прямоугольного сечения с высотой h и шириной b:

Выделим элемент с шириной b и малой высотой dy, который отстоит от оси z на расстоянии y и просуммируем произведение квадрата расстояния и площади элемента по всей высоте прямоугольника (от –h/2 до h/2).



Теперь определим момент инерции для круглого сечения.

Момент инерции подсчитывается по следующей формуле:


Для решения этого интеграла в случае круглого сечения есть два подхода:

  • С использованием декартовой системы координат
  • С использованием полярной системы координат

Если решать интеграл для круга по аналогии с прямоугольником, то можно поделить его на полосы толщиной dy, расположенных на расстоянии y от оси z; длину их выразить через R и y через теорему Пифагора и затем просуммировать произведение по высоте y.



Здесь dF можно представить как:


Если решать данный интеграл, то получается слишком громоздкое решение с не вполне красивым ответом.

Это решение логически более последовательно и понятно для данного курса, однако, с другой стороны, оно настолько громоздко, что мы воспользуемся полярной системой координат, используя бесконечно малые dr (суммируя по радиусу) и dα (суммируя по окружности).

Выделим элементарную площадку dF, расположенную под углом α к Oz и на расстоянии r от начала координат. Элементарная площадка отложена малым углом dα и малым радиусом dr:




Для того, чтобы использовать интеграл момента инерции, распишем понятия y и dF:


Так как обе половину сечения одинаковы, то можно провести суммирование лишь для верхней части и результат удвоить:




Для раскрытия


упростим выражение, используя формулу косинуса двойного угла:

Получим:


Если проанализировать формулу для момента инерции, то можно обнаружить, что наиболее полезным для изгиба будет такое сечение, у которого площадь максимально разнесена от нейтральной оси. В этом смысле получается, что круглое сечение – плохое сечение для восприятия изгиба, так как вся его площадь расположена близко к нейтральной оси. Однако круглое сечение можно модифицировать, если убрать его центральную часть, оставив только площадь по краям. Иными словами, перейти к кольцевому сечению (трубе).Для определения напряжений в трубе справедлив тот же подход, что и в балке круглого сечения. Единственное, что поменялось – это подсчёт момента инерции.

Если принять за r2 внешний радиус, а за r1 – внутренний, то тогда в подсчёте момента инерции изменятся границы суммирования по радиусу:


Но, тем не менее, даже кольцевое сечение не является идеальным распределением площади для восприятия изгиба, так как по-прежнему значительная часть площади располагается у нейтральной оси. Идеальным было бы сделать сечение в виде двух прямоугольников, максимально разнесённых от нейтральной оси z:


Однако в данном случае получается, что они не соединены друг с другом. Соединить их можно многими способами, но наиболее часто встречающиеся:


Левое сечение – коробчатое, правое сечение – двутавр. Данные фигуры – сложные, т.к. по сути составлены из нескольких прямоугольников.


Так как момент инерции площади – это, по сути, большой многочлен, каждое слагаемое которого представляет собой произведение площадки на квадрат расстояния до нейтральной оси, то момент инерции, например, коробчатого сечения можно представить как разность момента инерции внешнего и внутреннего прямоугольника:






Для такого подхода необходимо, чтобы оси z1 и z2 совпадали, как это показано на рисунке:



Момент инерции сечения двутавра, показанного на рисунке ниже, можно подсчитать по аналогии: из момента инерции большого прямоугольника вычитается суммарный момент инерции двух «пустот».









Формулы выше получены способом сложения/вычитания моментов инерции, однако в общем случае важно понимать, что нельзя просто суммировать или вычитать моменты инерции, подобно площади, так как помимо собственно площади в формуле фигурирует расстояние от этой площади до нейтральной оси. И в случае сечений, имеющих, например, только одну плоскость симметрии (например, двутавр с полками разной ширины, см. рисунок ->), решение способом, изложенным выше, приведёт к неправильному ответу.


Если посмотреть на формулу для нормальных напряжений:


то можно заметить, что и y, и Iz зависят от размеров сечения. В практических задачах чаще всего интересуют те "волокна" материала, которые наиболее удалены от нейтральной оси и в которых действуют наибольшие нормальные напряжения.

Логически напрашивается ввод новой величины, объединяющей обе:


В сопромате эту величину принято называть моментом сопротивления сечения.

Как и момент инерции Iz, момент сопротивления W является характеристикой сечения, и, с одной стороны, им удобнее пользоваться при подборе сечений, но, с другой стороны, это менее «гибкая» величина, и ей нельзя оперировать при определении характеристик сложных сечений, как, например, в формуле для симметричного двутавра, где использовалась величина момента инерции.