Напряжения при плоском нагружении



Давайте представим себе стержень в виде плоской пластины квадратной формы. Если нагрузить такую пластину вдоль одной из двух её осей, то мы уже с лёгкостью можем рассчитать её на прочность и на жёсткость, иными словами, мы можем находить напряжения и деформации.

А если одновременно нагрузить эту пластину вдоль двух взаимно перпендикулярных осей? Например, приложим растягивающую силу к каждой грани, как показано на рисунке справа. Как же определять напряжения и деформации для такого случая?

Чтобы добиться двухосного нагружения, можно явным образом нагрузить пластину по двум взаимно перпендикулярным направлениям. А можно добиться такого нагружения материала, например, при действии избыточного внутреннего давления на герметичный сосуд или оболочку.Рассмотрим такой случай. Из-за экономических соображений гражданские самолёты летают на высотах ≈10км. На такой высоте меньше давит столб воздуха, меньше плотность воздуха, ниже температура – в таких условиях человек не выживет. Потому салон самолёта – место, где перевозятся пассажиры – делается герметичным, сохраняя внутри почти такую среду, как на поверхности земли.


Из-за разности p давлений внутри фюзеляжа и снаружи его раздувает.


Но природа во всём стремится к равновесию, и есть два способа уравновесить такую систему: 1) разрушить фюзеляж и самолёт; 2) уравновесить разность давлений прочностью обшивки фюзеляжа. Первый способ нам не интересен, так как всё-таки хочется долететь до нужного места, оставшись при этом в живых, потому рассмотрим второй.

Представим фюзеляж самолёта как герметичный резервуар диаметром D и длиной рабочей части l, стенки которого своей прочностью уравновешивают разность давлений p. Толщина стенок t мала по сравнению с диаметром D.


Будем считать, что давление равномерно распределено по всей внутренней поверхности фюзеляжа.

Теперь нужно раскрыть понятие давления. Давление – это сила, действующая на какую-то площадь. Можно всю внутреннюю площадь мысленно поделить на четыре зоны:


Теперь можно найти силы, действующие на каждую из четырёх частей от разности давлений.

Проинтегрировав давление p по площади, получим силы, которые растягивают фюзеляж в продольном (x) и поперечном (y) направлениях.


Эти силы воспринимаются материалом обшивки по следующим площадям:


Стоит заметить, что диаметр фюзеляжа при наддуве может увеличиваться, однако практика показывает, что этим изменением можно пренебречь и проводить расчёт по исходному диаметру.

Теперь мысленно(!!!) вырежем из обшивки элемент двумя продольными и двумя поперечными сечениями и обозначим действующие в нём напряжения от наддува.


Величины этих напряжений:

Из формул видно, что напряжения будут больше в направлении y. Всё логично, ведь площадь условных верхней и нижней части фюзеляжа больше площади условных боковых частей. Простой пример в подтверждение – оболочки сосисок при жарке лопаются именно в направлении y.

Теперь давайте проанализируем напряжения по наклонным площадкам в этом выделенном элементе обшивки фюзеляжа.

Мысленно рассечём элемент сечением pq, проведём нормаль n к этому сечению и угол, между осью x и нормалью, обозначим через α.

Сначала получим напряжения по наклонному сечению от напряжения σx

Допуская некоторую толщину рассматриваемого элемента, заметим, что площадь в сечении pq будет больше площади боковой грани элемента, а, следовательно, и напряжения от Px по наклонной грани pq будут меньше, чем на исходной грани элемента в величину cosα раз. Это можно вывести из треугольника:

Обозначая за F площадь, на которой действует напряжение σx, а за Fpq – площадь наклонного сечения, в котором мы хотим найти напряжения, получим:


Так как и на площади F, и на площади Fpq действует одна и та же сила Px, то получим, что напряжение, действующее по наклонной площади Fpq, равно:

Теперь просто спроецируем на нормаль и на наклонную прямую получившееся напряжение:

Получим нормальную и касательную составляющую напряжений, действующих по наклонному сечению от напряжения σx:

Теперь получим напряжения по наклонному сечению от напряжения σy:

Получим нормальную и касательную составляющую напряжений, действующих по наклонному сечению от напряжения σy:

Теперь надо получить результирующие нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке. Нормальные составляющие напряжений действуют в одну и ту же сторону, потому они складываются; касательные же напряжения действуют в разные стороны, потому они берутся с противоположными знаками:


________________________
Эти же самые формулы можно вывести, если рассмотреть равновесие прямоугольного треугольника, у которого на двух катетах будут действовать известные иксовые и игрековые напряжения. Для нахождения напряжения по наклонному сечению надо перейти к силам и через условие статики получить неизвестные напряжения (отношения площадей преобразовать к отношениям сторон -> тригонометрические функции)