Нагружение по трём взаимно перпендикулярным направлениям


Если брус, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, подвергается действию равномерно распределённых сил Px, Py и Pz, то нормальные напряжения по сечениям, перпендикулярным к осям x, y и z, соответственно, будут:


Предположим, что:



Анализируя действие сил Px, Py и Pz, можно увидеть, что в сечении, проходящем через ось z, действуют только напряжения от сил Px и Py, а потому эти напряжения можно вычислить из полученных ранее уравнений для плоского нагружения:



Следовательно, можно построить три круга Мора для трёх пар напряжений:




Для какого-либо сечения, наклонённого к осям x, y, z, составляющие напряжений есть координаты точек, находящихся в заштрихованной области.



Уравнения для вычисления относительных удлинений можно получить по аналогии с плоским нагружением:



Для практических задач, где встречается объёмное нагружение, бывает необходимо вычислить изменение объёма. Для описанного ранее случая объём бруса увеличится в соотношении:

Пренебрегая малыми величинами:

Видно, что относительное объёмное расширение равно:

Подставляя полученные ранее значения относительных удлинений, получим:

В случае, например, равномерного гидростатического давления получим:

Можно ввести обозначение:

Тогда получим:

Относительное объёмное сжатие пропорционально сжимающему напряжению (давлению) и обратно пропорционально величине K, которая называется объёмным модулем упругости.