Касательные напряжения при изгибе


В общем случае изгиба в сечениях балки действуют внутренняя сила Q и внутренний момент M. Последний раскладывается по сечению на нормальные напряжения, т.е. является их результирующей. Сила Q является результирующей касательных напряжений в сечении.

Для правильного разложения на составляющие напряжения по сечению момента M был проведён опыт, в котором балка прямоугольного поперечного сечения была нагружена чистым изгибом.

Логично желать аналогичного опыта и для поперечной силы. Однако, к сожалению, невозможно добиться того, чтобы балка воспринимала только поперечную силу, так как сдвигая что-либо, практически всегда имеется плечо, на котором возникает момент. Ведь даже при срезе болта в соединении или при резании бумаги ножницами, между сдвигаемыми плоскостями имеется зазор (пусть и пренебрежимо малый).

И хотя невозможно провести опыт для демонстрации сдвига в поперечном сечении, сдвиг можно наблюдать в сечении продольном. Для этого, например, надо взять две доски, положить одну на другую и нижнюю доску шарнирно подпереть:


После этого посередине пролёта к верхней балке прикладывается сдвиговая сила. В результате нижняя поверхность верхней балки сдвигается относительно верхней поверхности нижней балки:



Это смещение можно предотвратить скреплением балок, например, добавляя шпоночные соединения, или же просто пробить доски гвоздями по длине.

Будь эта балка цельная и не состоящая из двух досок, то при нагружении сама балка своей прочностью препятствовала бы такому смещению.

Этот опыт свидетельствует о наличии касательных напряжений в продольных плоскостях балки при поперечном изгибе. Но, вспоминая круг Мора:

можно обнаружить, что касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны по модулю, но противоположны по направлению. Напомню, что на круге Мора откладываются удвоенные углы.

Это значит, что если найти напряжение в продольном сечении, то в смежном месте поперечного сечения будут действовать эти же напряжения.




Допустим, что касательные напряжения, действующие по прямоугольному поперечному сечению, постоянны по ширине и параллельны поперечной силе Q. На основе эти двух допущений выведем закон распределения касательных напряжений по высоте поперечного сечения балки.

Для этого рассмотрим общий случай изгиба балки, когда в сечениях действует поперечная сила Q и изгибающий момент M.



Имеется шарнирно опёртая балка, воспринимающая сосредоточенную силу в середине пролёта. Выделим элемент балки при помощи двух поперечных сечений mn и m1n1. Длина этого элемента может быть любой, но для большей точности будем оперировать бесконечно малой длиной dx.


В сечении mn будет действовать изгибающий момент M; в сечении m1n1 будет действовать бо́льший момент M+dM.


Сумма элементарных сил (напряжений) вдоль оси x равна 0, однако в данной схеме неуравновешен добавочный момент dM.

Он уравновешивается моментом от сдвиговых сил dM = Q ∙ dx:


Теперь выделенный элемент полностью уравновешен.

Желая определить касательные напряжения в поперечном сечении, необходимо сначала определить их в продольном сечении. Для этого выделим более мелкий элемент pp1nn1, причём плоскость pp1 расположим в интересуемом нас продольном сечении (для начала зададим его произвольно на расстоянии y1 от нейтральной оси):


Суммарная сила от нормальных напряжений по грани p1n1 будет больше суммарной силы от нормальных напряжений по грани pn. Уравновешивает эту разницу сила от касательных напряжений на грани pp1:


Для составления уравнения равновесия относительно оси икс необходимо от напряжений перейти к силам. Для этого рассмотрим, например, поперечное сечение mn и просуммируем напряжения по площади ppnn:


Выделим площадку dF, расположенную на расстоянии y от нейтральной оси. Действующая на ней осевая сила:


Просуммировав по площади ppnn, получим:


По аналогии для правой части:


Уравновешивающая сдвиговая сила:


Итого:


Касательное напряжение в продольном сечении:


Это же напряжение будет действовать в поперечном сечении в волокне на расстоянии y1 от нейтральной оси.


Допустим, что момент инерции сечения балки не изменяется по её длине. Иными словами, дана балка постоянного поперечного сечения (что и бывает в большинстве случаев). Тогда можно упростить формулу для касательных напряжений:


Так как dM/dx – это поперечная сила Q в сечении (кстати, этот факт можно использовать для проверки правильности построения эпюр Q и M), то:


Выражение под интегралом – это статический момент отсечённой части ppnn относительно нейтральной оси. Обозначим его как Sz. Для исходного прямоугольного сечения шириной b и высотой h можно выразить элементарную площадь и упростить выражения для статического момента:


Подставим полученное выражение в формулу для касательных напряжений в прямоугольном сечении и получим итог:


Из формулы видно, что касательные напряжения по сечению распределены неравномерно. Наибольшее значение будет при y1 = 0, т.е. в волокнах, расположенных у нейтральной оси:


А так как момент инерции прямоугольного сечения относительно нейтральной оси нам известен, то можно ещё упростить выражение для касательных напряжений:


Таким образом, если бы приняли равномерное распределение касательных напряжений по высоте прямоугольника, то получили бы некую среднюю величину. Получившееся по данной формуле максимальное касательное напряжение больше среднего напряжения в полтора раза.

Пользуясь формулой, можно получить графическую зависимость касательных напряжений в сечении от высоты. Для большей наглядности решим задачу не в общем, а в частном виде.


Задача. Построить диаграмму зависимости касательных напряжений по высоте прямоугольного сечения (размеры в мм) при действующей в сечении поперечной силе Q = 10 000 Н.

Решение.


Для решения нужно определить момент инерции сечения:


Для построения диаграммы напряжений используем формулу и занесём полученные данные в таблицу:



Сравнивая с распределением нормальных напряжений в сечении, получилась обратная картина: наибольшие нормальные напряжения действуют в наиболее удалённых от нейтрального слоя волокнах, в то время как наибольшие касательные напряжения действуют как раз в районе нейтрального волокна. В крайних же волокнах касательные напряжения равны нулю, что вполне логично, так как крайние поверхности не имеют двух контактирующих плоскостей по обе свои стороны, т.е. являются свободными.

Полученная формула для касательных напряжений впервые была выведена Дмитрием Журавским и носит его имя – формула Журавского:


В отличие от решения задачи о касательных напряжениях теорией упругости, данная формула носит приближённый характер и в случае, например, прямоугольных сечений справедлива только для тех сечений, у которых высота больше ширины:


Из-за наличия касательных напряжений в продольном направлении логично ожидать, что они будут сдвигать продольные сечения друг относительно друга и делать изначально плоское поперечное сечение не плоским. Однако исследования показывают, что принятое в уроке про чистый изгиб допущение о плоских сечениях вполне работает и в случае общего изгиба даже при действии касательных напряжений. Следовательно, для нахождения нормальных напряжений по-прежнему можно пользоваться формулой:

Рассмотрим теперь случай, когда сечение балки представляет собой двутавр. Требуется понять, как поперечная сила Q распределяется по такому сечению.

Если ещё раз проанализировать вывод формулы Журавского, то можно обнаружить что она в таком виде:



справедлива для любой балки постоянного поперечного сечения, в том числе и двутаврового сечения. Важно лишь, чтобы выполнялись те же допущения, что были приняты для распределения касательных напряжений в балке прямоугольного поперечного сечения, а именно, что касательные напряжения в сечении параллельны действию сдвиговой силы.

И если по поводу Q (сдвиговая сила в сечении, берётся по эпюре), b (текущая ширина сечения в районе рассматриваемого слоя) и Iz (момент инерции всего сечения) не должно быть много вопросов, то относительно интеграла (статический момент отсечённой части сечения) могут возникнуть затруднения.

Для более наглядного объяснения рассмотрим пример. Имеется двутавр, показанный на рисунке ниже, в котором действует сдвиговая сила Q (для более наглядного представления пусть Q = 10 000 Н).

Допустим, нас интересуют касательные напряжения в выделенном красным цветом слое (на расстоянии 75 мм от нейтральной оси):

Используем формулу:


В ней известно следующее:


Момент инерции Iz можно определить как разность «внешнего» (160х100) и «внутреннего» (140х100) прямоугольников, а также прибавить к этой разности стенку (140х5):

Теперь остаётся найти тот самый статический момент отсечённой части:



Этот интеграл можно вычислить «в лоб», т.е., например, dF расписать как площадку с малой высотой dy и шириной b:


Подставляя значения, получим:


Теперь можно найти касательное напряжение, действующее в слое на расстоянии 75 мм от нейтральной оси:


Проанализировав формулу Журавского, можно заметить, что значительно влияет на величину касательных напряжений в двутавровом сечении значение текущей ширины b. Из этого следует, что в стенке двутавра будут действовать гораздо большие напряжения, чем в полках.

Теперь давайте определим касательные напряжения в зоне перехода полки в стенку (y1=70 мм):

Используем формулу:

В ней известно следующее:

Используя b=5, получим напряжения в стенке; используя b=100, получим напряжения в полке. Так как интересуют напряжения в стенке, то b=5. Статический момент отсечённой части считается по уже выведенной выше формуле; изменилась только граница суммирования y1. Получается:

По аналогии с прямоугольником, наибольшие касательные напряжения в двутавровом сечении также будут действовать в районе нейтральной оси (y1=0 мм):

Используем формулу:

В ней известно следующее:


Решить интеграл


«в лоб» не получится, так как в пределах границ интегрирования ломается сама функция. В такой ситуации статический момент можно определить, найдя центр тяжести отсечённой части и умножить площадь фигуры на расстояние от центра тяжести до нейтральной оси.

Отсечённая часть, по сути, представляет собой два прямоугольника:

Площадь отсечённой части можно получить как сумму двух прямоугольников:

Для определения центра тяжести сложной фигуры, составленной из нескольких простых, сделаем следующее. Отдельно нарисуем отсечённую часть и введём вспомогательную систему координат, отложенную в произвольном месте. Для удобства, пусть это "произвольное место" будет таковым, чтобы ось x вспомогательной системы координат совпадала с осью z рассматриваемого сечения двутавра:

Координаты центра тяжести этой фигуры определятся по следующим формулам:

Здесь F1, F2 – площади соответственных прямоугольников, а x1, x2, y1, y2 – координаты центров тяжести соответственных прямоугольников в принятой системе координат. Сначала определим иксовую координату. Так как центр тяжести прямоугольника находится на пересечении его диагоналей, то иксовая координата их центров тяжести будет равна b/2=50 мм. Отсюда получим иксовую координату центра тяжести всей фигуры:

И хотя иксовая координата в данной задаче нам неинтересна, но было полезно определить её (в качестве практики).
Для игрековой координаты y1 = 35 мм, y2 = 75 мм:


Теперь, определим статический момент этой фигуры относительно исходной нейтральной оси z:


Действующие касательные напряжения в районе нейтральной оси:



Проведя аналогичные действия для всех волокон по высоте двутавра, можно получить графическую зависимость:


Как видно, наиболее нагружена касательными напряжениями стенка двутавра. Что касается полок, то в них будут действовать гораздо меньшие напряжения. К тому же, как показывают опыты, пользоваться формулой Журавского для вычисления касательных напряжений в полках двутавра не вполне корректно ввиду того, что эти напряжения далеко не одинаковы по ширине полки.

Подведём промежуточный итог… При поперечном изгибе:

1. В наиболее удалённом от нейтральной оси волокне действуют наибольшие нормальные напряжения, а касательные напряжения равны нулю. Получается случай линейного напряжённого состояния (растяжение или сжатие)


2. В волокне возле нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю, а касательные напряжения имеют наибольшее значение. Получается случай чистого сдвига


3. Все остальные промежуточные волокна испытывают как нормальные, так и касательные напряжения, т.е. их напряжённые состояния имеют вид


В первом случае для проверки прочности следует определить действующие напряжения и сравнить их с допускаемыми, полученными из опыта на осевое нагружение.

Во втором случае для проверки прочности следует определить действующие касательные напряжения и сравнить их с допускаемыми, полученными из опыта на чистый сдвиг.

В третьем случае для проверки прочности необходимо использовать эквивалентные напряжения, которые были разобраны в предыдущем модуле. Напомню, что предварительно необходимо найти главные напряжения и к ним применить подходящую теорию прочности, чтобы получить эквивалентные напряжения.

Возникает вопрос: могут ли быть такие ситуации, когда промежуточные напряжённые состояния более опасны, чем «экстремальные»? Да, могут.

Например, одно из наиболее выгодных сечений на изгиб – двутавр – имеет как значительные нормальные, так и значительные касательные напряжения в районе перехода полки в стенку: