Изменение поперечных размеров, коэффициент Пуассона

Помимо удлинения образца при растяжении, также имеет место поперечное сужение. Его можно было видеть невооружённым глазом в ходе опыта на растяжение. Однако невооружённым глазом было видно сужение только в нелинейной части графика. А так как для нас наибольший интерес представляет только начальный участок графика, на котором зависимость линейная, а деформации упругие, то для фиксирования сужения необходимы точные измерительные приборы.

Если в ходе опыта измерять удлинение и соответственное ему поперечное сужение на линейном участке, то можно получить таблицу значений.

Если переходить от абсолютных значений удлинения и сужения к относительным и поделить относительное сужение на относительное удлинение, то можно получить величину, характеризующую упругие свойства данного материала:

Знак «–» говорит о том, что поперечный размер уменьшается. В линейной части графика величина μ является постоянной.

Впервые эту величину обнаружил французский учёный Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840).

Выдержка из книги «История науки о сопротивлении материалов» (С. П. Тимошенко):

«…Главные полученные Пуассоном результаты содержатся в двух его мемуарах, опубликованных в 1829 и 1831 гг., а также в его курсе механики. Начав своё исследование с рассмотрения системы частиц, между которыми действуют молекулярные связи, он получает три уравнения равновесия и три краевых условия. Они сходны с теми, которые были выведены до него Навье и Коши. Пуассон доказывает, что выраженные этими уравнениями условия не только необходимы, но также и достаточны, чтобы обеспечить равновесие некоторой области тела. Ему удаётся проинтегрировать уравнения движения, и он показывает, что возмущение в малой области тела влечёт за собой возникновение волн двух типов.

В более быстро распространяющейся волне движение отдельных частиц нормально к фронту волны и сопровождается изменениями объёма (объёмным расширением). В другой же волне движение частиц касательно к фронту волны и при таком движении имеет место лишь угловая деформация (искажение формы элемента) без изменения объёма.

В этом мемуаре Пуассон ссылается на М. В. Остроградского. Применяя свои уравнения к изотропному телу, Пуассон находит, что при простом растяжении призматического стержня осевое удлинение ε должно сопровождаться поперечным сужением на величину με, где μ=1/4…»

Экспериментальные исследования поперечного сужения в строительных металлах показывают, что μ обычно близко к значению, вычисленному Пуассоном. Например, в случае некоторых строительных сталей можно принять значение μ=0.30.

Для изотропных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах:

Для металлических материалов в упругой зоне значения коэффициента Пуассона:

Коэффициенты Пуассона для различных материалов:


Что касается значения коэффициента Пуассона в неупругой (пластической зоне), то информации на этот счёт не так много. В частности, очень трудно определить эту величину при переходе от упругой зоны к пластической. При допущении о том, что материал изотропен, в зоне пластических деформаций можно принимать коэффициент Пуассона равным 0.5.

Зная коэффициент Пуассона материала, можно вычислить изменение объёма стержня при растяжении или сжатии (в зоне упругих деформаций материала).

Задача: для призматического стержня длиной L и с квадратным поперечным сечением со стороной d требуется найти изменение объёма при относительном удлинении ε. Известно, что коэффициент Пуассона для материала стержня равен μ.

Решение:

1. При абсолютном удлинении ∆L образец также получает абсолютное сужение ∆d (при растяжении оно отрицательно)

2. Начальный объём стержня равен:

3. Конечный объём стержня равен:

4. Отношение конечного объёма к начальному равно:

5. Упрощение первого множителя:

6. Упрощение второго и третьего множителей:

7. Отношение объёмов после упрощения множителей:

8. Принимая во внимание крайне малое значение относительного удлинения ε образца в упругой зоне, можно пренебречь степенями этого значения:

9. Ответ – объём увеличится на относительную величину ε(1 – 2μ). Для удобства ответ можно дать в процентах.

Как видно из ответа, по значению числа Пуассона можно судить о степени сжимаемости вещества.

Существуют материалы, чей коэффициент Пуассона меньше 0, т.е. отрицательный. Такие материалы называются ауксетиками.

К сожалению, наука пока не знает изотропных материалов, чей коэффициент Пуассона превышал бы 0.5. Такие материалы могли бы послужить источником для вечного двигателя.

И хотя в задачах на осевое нагружение чаще всего нет необходимости в учёте поперечного сужения, но в дальнейшем, когда тела будут нагружать вдоль нескольких взаимно перпендикулярных осей, значение коэффициента Пуассона будет иметь гораздо большее значение.