Изменение длины, закон Гука

Для того, чтобы иметь полную картину работы растянутого или сжатого стержня, необходимо уметь вычислять то, как будут под нагрузкой меняться его размеры:

  • Продольный размер/изменение длины (удлинение при растяжении, укорочение при сжатии)
  • Поперечный размер/изменение толщины (сужение при растяжении, утолщение при сжатии)

Сначала проанализируем изменение длины.

От чего же зависит удлинение стержня?

Снова вернёмся к диаграммам из опытов на растяжение. Напомню, нас интересует только начальная (линейная) часть графика.


Так как мы рассматриваем только прямой отрезок на графике, то его можно описать с помощью линейной функции:

Здесь в качестве y выступает приложенная сила P (размерность в Н), а в качестве x – удлинение ∆L (размерность в мм). Получаем:

Перезаписав эту формулу относительно удлинения, получим:

k - это коэффициент жёсткости стержня. Как видно из формулы, чем больше k, тем меньше стержень удлинится.

Допустим, перед нами стоит задача определить удлинение стержня при заданной растягивающей нагрузке. Но откуда взять коэффициент жёсткости k?

Для ответа на этот вопрос следует провести серию сравнительных опытов. Суть их такова, что надо прикладывать одну и ту же силу к почти одинаковым образцам и через различия в удлинениях сделать вывод о влиянии (или отсутствии такового) на коэффициент жёсткости тех факторов, которые были выбраны разными.

Допустим, что коэффициент жёсткости зависит от длины стержня L. Берём два почти идентичных стержня одинаковой толщины из одного и того же материала, только один, например, в два раза длиннее другого. Растягиваем их одинаковой силой. Так как длинный стержень, по сути, «содержит в себе» два коротких, то его удлинение также будет в два раза больше удлинения короткого стержня. Вывод из этого опыта: коэффициент жёсткости стержня зависит от его длины. Чем короче стержень, тем он жёстче.

Или другой опыт: возьмём два стержня одинаковой длины из одного и того же материала, только один стержень будет толще другого так, что площадь его поперечного сечения F будет в два раза больше площади поперечного сечения другого стержня. После растяжения их одной и той же силой можно заметить, что более тонкий стержень удлинится в два раза больше, чем более толстый. Отсюда вывод, что коэффициент жёсткости стержня зависит от площади поперечного сечения. Чем толще стержень, тем он жёстче.

Эти два опыта исчерпывающе показывают зависимость коэффициента жёсткости стержня от его геометрии. Однако коэффициент жёсткости зависит также и от материала этого стержня. Два одинаковых по форме стержня из стали и из дерева будут иметь совершенно разные коэффициенты жёсткости. Что именно в материалах создаёт такие различия – неизвестно.

Мы всё неизвестное в материале, что так или иначе вызывает различия в коэффициентах k, заключим в одну величину и обозначим её буквой E.

В итоге получим экспериментальную зависимость для коэффициента жёсткости :

Зная размерность жёсткости [k]=Н/мм, можно найти размерность E:

Эту величину впервые ввёл английский физик Томас Юнг.

Эта величина E называется модулем упругости материала при растяжении (или модулем Юнга), и она характеризует способность твёрдого тела упруго деформироваться при приложении к нему растягивающей силы.

По сути же, она является макроскопическим следствием микроскопических связей в веществе. Как же определить модуль упругости для того или иного материала?

Для начала запишем итоговую формулу для удлинения стержня:

Выразим отсюда модуль упругости:

Для определения модуля Юнга необходимо:

  1. провести опыт на растяжение,
  2. выбрать произвольную точку на начальном линейном участке,
  3. определить удлинение в ней и соответствующую силу,
  4. зная площадь поперечного сечения и длину стержня, вычислить модуль Юнга

Величины модулей упругости и плотности некоторых материалов:

Что касается сжатия, то при сравнении модулей Юнга при растяжении и сжатии большинства материалов, можно заметить незначительные различия в их величинах. Этими различиями часто пренебрегают.

Так как рассматривается только линейный участок, то и значения модулей Юнга соответствуют жёсткости материала на линейном участке.

Однако в инженерной практике бывают случаи, когда, например, напряжения в металле выходят за предел пропорциональности. Когда это происходит, то значения модуля Юнга начинают уменьшаться по сравнению со значением в упругой зоне.

В итоге мы имеем формулу для нахождения изменения длины при растяжении или сжатии:

Это – экспериментальный закон Гука. По этой формуле можно находить изменения длины в стержнях или колоннах, испытывающих осевое растяжение или сжатие. Однако, хотя данная формула и позволяет считать изменения длины для элементов под осевой нагрузкой, она является упрощением реальной картины происходящего. Что это означает? Поясню на примере:

Желая растянуть стержень, например, 100 килограммами, мы эти 100 килограмм будем прикладывать очень медленно. То есть сначала приложим только килограмм, потом два, три и т.д. вплоть до ста. Но ведь проблема в том, что при нагружении одним килограммом, стержень уже удлинится. То есть чтобы подсчитать удлинение при действии двух килограммов, придётся брать изначальную длину стержня, которая будет соответствовать длине растянутого одним килограммом стержня. И так далее. Но если вы проведёте точный расчёт даже для относительно мягкого алюминия, вы обнаружите, что различие между точным и приближённым расчётом будет ничтожно мало. Потому, на практике применяется приближённый расчёт.

То же самое и с площадью поперечного сечения. Стержень сужается не только в пластической зоне (где это сужение видно невооружённым глазом), но и в линейной (упругой), где это изменение можно отследить только с помощью точных приборов. А так как мы имеем дело в основном с линейной частью графика, то потому берётся изначальная площадь поперечного сечения. Это явление (сужение при удлинении) будет рассмотрено чуть позже.

Формулу для нахождения удлинений можно видоизменить, перейдя к относительным величинам.

Сила, приходящаяся на единицу площади – это напряжение, с которым уже имели дело:

Удлинение, приходящееся на единицу длины – это относительное удлинение. Обозначим эту величину греческой буквой ε:

В итоге получим:

Или

Это – закон Гука в относительной форме. Можно заметить, что размерность модуля Юнга – паскали, как и размерность напряжения. Исходя из этого, можно дать определение модулю Юнга, как фиктивному напряжению, при котором стержень удлинится на величину своей исходной длины. Но так как удлинения в конструкционных металлах просто ничтожны по сравнению с исходными длинами, то и модуль Юнга в разы больше, чем действующие напряжения.

Рассмотренные случаи являются лишь частными случаями осевого нагружения тела. Очень часто бывает так, что

  • нужно учесть собственный вес вертикально расположенного тела (например, при очень большой длине);
  • или тело может иметь переменное сечение по длине;
  • или оно может быть составленным из нескольких разных тел вдоль оси;
  • или же внешнее нагружение может меняться по длине;
  • и так далее, случаев может быть множество

В качестве немного более общего примера решим задачу.

Задача: Определить удлинение конического бруса при действии собственного веса, если высота конуса равна L, диаметр основания равен D, вес единицы объёма материала равен γ (плотность тела с размерностью силы (ньютоны) поделённые на объём (кубические метры, миллиметры и т.п.)), модуль упругости материала равен E. Известно, что материал конуса при растяжении от собственного веса работает в пределах упругости и к нему применим закон Гука.

Решение:

Объём конуса определяется по формуле:

Вес конуса равен удельному весу материала, умноженному на объём конуса:

Введём систему координат и выделим элемент бесконечно малой длины dx на расстоянии x от вершины конуса

По свойству бесконечно малых величин, усилия и напряжения на верхней и нижней поверхности элемента от действия нижележащей массы будут равны.

При небольшом угле конуса можно сделать допущение, что растягивающие напряжения равномерно распределены по поперечному сечению (в реальности напряжения будут выше на краях). Нужно вывести выражение для растягивающего усилия для любого сечения на расстоянии x от вершины конуса. Диаметр любого сечения, отстоящего от вершины конуса на x можно найти из подобия треугольников.

Элемент длиной dx, площадью F(x) растягивается силой P(x). Требуется найти удлинение элемента dx:

Теперь нужно просуммировать удлинения всех элементов dx по высоте конуса L:

В итоговом выражении для удлинения отсутствует диаметр основания из-за сделанного нами допущения, которое справедливо только для конусов с малым углом (т.е. очень острых конусов). Для всех остальных конусов решение будет иметь более сложный вид.

В целом, суть решения всех задач по осевому растяжению/сжатию тел сводится к определению удлинений отдельных его частей/частиц и к итоговому их суммированию для получения общего удлинения. Для получения напряжения в любом поперечном сечении нужно найти силу, действующую в нём, и поделить её на площадь этого сечения.