Чистый сдвиг, модуль сдвига


Если нарисовать круг Мора из центра системы координат, то получится особый частный случай плоского нагружения.

Из такого круга следует, что на площадках +- 45 градусов будут отсутствовать нормальные напряжения, а действующие касательные напряжения будут максимальны и равны главным напряжениям. Такой круг Мора является иллюстрацией следующего нагружения:



Тут действуют взаимно перпендикулярные нормальные напряжения; по одной оси – растягивающие, по другой – сжимающие, при этом напряжения эти численно равны.

Теперь в этом элементе выделим новый элемент, расположенный под углом 45 градусов:



Этот элемент abcd находится в равновесии под действием только касательных напряжений. Такое напряжённое состояние называется чистым сдвигом.

Рассмотрим деформацию элемента abcd.

Так как по граням этого элемента нормальные напряжения не действуют, то длины ab, ad, bc и cd не изменятся при деформации, но горизонтальная диагональ удлинится, а вертикальная диагональ ac укоротится, вследствие чего квадрат abcd превратится в ромб, как указано на рисунке пунктиром.

Угол при b, который до деформации был равен π/2, теперь становится меньше π/2, скажем, (π/2 - γ), и в то же время угол при a увеличивается и становится равным (π/2 + γ).

Малый угол γ определяет искажение элемента abcd и называется относительным сдвигом.

Для наглядности повернём и поместим элемент abcd в положение, как показано на рисунке ниже:


После его искажения касательными напряжениями он примет положение, указанное пунктиром. Так как, например, в металлах, относительные деформации крайне незначительны, то и здесь будет логично ожидать, что угол γ будет очень малым. Для очень малых углов тангенс угла равен самому углу, потому запишем:



Величина aa1 – это величина абсолютного сдвига, а величина ad – величина расстояния между сдвигающимися плоскостями. Соответственно, относительный сдвиг – это их отношение.

Если материал подчиняется закону Гука, то этот сдвиг будет пропорционален касательному напряжению и будет зависеть от механических свойств материала:


G – величина постоянная и характеризующая упругие характеристики материала. Называется эта величина модулем упругости при сдвиге или модулем сдвига.

Так как искажение элемента abcd вполне определяется из удлинения и укорочения его диагоналей, и так как эти деформации можно вычислить при помощи полученных ранее уравнений, то можно увидеть, что модуль G может быть выражен через модуль E и коэффициент Пуассона μ. Для установления этой зависимости рассмотрим треугольник Oab:


В нём:


Из треугольника Oa1b1 находим:


Для малого угла γ можно принять:


Помня, что в случае чистого сдвига:



Следовательно:



Откуда:



Отсюда:




То есть модуль сдвига для изотропного материала можно легко вычислить, если знать модуль Юнга и коэффициент Пуассона.

Так как модуль сдвига имеет ту же размерность, что и напряжение, то ему можно дать определение, как фиктивному касательному напряжению, при котором величина абсолютного сдвига будет равна расстоянию между сдвигаемыми плоскостями. Но так как, например, в металлах сдвиговые деформации крайне незначительны, то и модуль сдвига крайне велик относительно действующих напряжений.

Модуль сдвига – это величина, характеризующая упругие свойства данного материала, наравне с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона. Для изотропных материалов достаточно знать две величины, чтобы получить третью (вывод зависимости между ними был только что показан), однако же в общем случае (для материалов с различными, в зависимости от направления, свойствами) эти три величины могут различаться в зависимости от ориентации.

Важно понимать, что опыт на сдвиг гораздо сложнее опыта на растяжения в плане доступности для проведения. В частности, очень тяжело приложить сдвиговые силы так, чтобы распределение касательных напряжений было равномерным.

Поэтому состояние чистого сдвига обычно получают путём кручения цилиндрической трубы:

(Кручение будет рассмотрено в одном из следующих модулей)

Важно понимать и обратную ситуацию, когда какой-то элемент находится в состоянии сдвига, например, при том же кручении, то можно поворотом этого элемента на 45 градусов прийти к двухосному нагружению (растяжению в одном направлении и сжатию в другом). Такая ситуация очень часто встречается на практике, и мы с этим столкнёмся как в изгибе, так и в кручении.


Закон Гука для сдвига в относительной форме:


Закон Гука для сдвига в абсолютной форме: