Анализ напряжений по наклонным сечениям


Ранее для проверки прочности стержня под осевой нагрузкой мы соотносили осевую силу к площади поперечного сечения, получая тем самым напряжения.

Почему бралась площадь поперечного сечения? Потому что она имеет наименьшее значение, а, значит, напряжения будут наибольшими и, скорее всего, образец разрушится именно по этому сечению.

Однако в опыте на растяжение образец из алюминиевого сплава разрушился не по поперечному сечению, как стальной, а по наклонному:

Потому, чтобы правильно оценить прочность стержня, нужно знать полное напряжённое состояние, а, значит, надо уметь вычислять напряжения по любым сечениям.

Можно выделить три типа сечений:

  1. Поперечное сечение
  2. Продольное сечение
  3. И промежуточное между ними – наклонное сечение

Определение напряжений в первом случае не составляет труда: осевая сила делится на площадь поперечного сечения.

Рассматривая продольное сечение, можно вспомнить о поперечном сужении. Значит, в этом сечении действуют какие-то напряжения. Однако в прочности их принято не рассматривать. Рассматривается лишь сам факт поперечного сужения.

Рассмотрим наклонное сечение. В качестве образца примем стержень квадратного поперечного сечения.

Напряжения в поперечном сечении:

Проведём некоторое наклонное сечение. Это сечение будет характеризоваться углом наклона между нормалью к этому сечению и осью x стержня.


Напряжения в этом сечении будут меньше, чем в поперечном:

Из формулы видно, что чем больше угол α, тем меньше будет напряжение в сечении. Ещё меньше будет нормальная составляющая напряжения в сечении:


Другая составляющая напряжения будет направлена по касательной к сечению. Такие напряжения будем называть касательными и обозначать греческой буквой τ:

Если деформацией от нормальных напряжений является удлинение или укорочение, то деформацией от касательных напряжений является сдвиг одного сечения относительно другого. Сдвиг – элементарная деформация, наравне с растяжением и сжатием.

Из выражения для касательных напряжений видно, что оно примет наибольшее значение, когда синус будет равен 1, т.е. α=45°. И будет оно равно половине нормального напряжения в поперечном сечении:

Теперь вспоминаем опыт с алюминиевым образцом, и обнаруживаем, что наклонное сечение, по которому сломался образец, также расположено приблизительно под этим углом.

Возникает вопрос: а по какому из напряжений, нормальному или касательному, проводить проверку прочности? В идеале, для каждого случая провести опыт, чтобы понять, какой тип напряжения является критичным и каким образом разрушится образец. Однако более подробно вопрос о выборе допускаемых напряжений будет рассмотрен в следующем модуле.